В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 ^[1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Пусть задана механическая система из ${\displaystyle N}$ материальных точек с массами ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{N}}$, на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1) ${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N},t)=0,\quad \alpha =1,...,d}$

(2) ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}\mathbf {A} _{\beta \nu }(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N},t)\cdot \mathbf {\dot {r}} _{\nu }+A_{\beta }(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g}$

Требуется описать движение системы, если известны активные силы ${\displaystyle \mathbf {F} _{1},...,\mathbf {F} _{N}}$ (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3) ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{k}}}=G_{k},\quad k=1,...,n}$

где

${\displaystyle n=3N-d}$ — число геометрических степеней свободы системы;

${\displaystyle q_{1},...,q_{n}}$ — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);

${\displaystyle G_{1},...,G_{n}}$ — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении ${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta \mathbf {r} _{1},...,\delta \mathbf {r} _{N})}$:

${\displaystyle \delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N}=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}}$

(4) ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\mathbf {\ddot {r}} _{\nu }^{2}}$ — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина ${\displaystyle S}$ — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) ${\displaystyle {\dot {\pi }}_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{ik}{\dot {q}}_{i}+\lambda _{k},\quad k=1,...,n-g}$.

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной ${\displaystyle \pi _{k}}$ не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной ${\displaystyle \pi _{k}}$, производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты ${\displaystyle \lambda _{ik}}$ и ${\displaystyle \lambda _{i}}$ могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6) ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{k}}}=G_{k},\quad k=1,...,n-g}$

где

${\displaystyle n=3N-d}$ — число геометрических степеней свободы системы;

${\displaystyle \pi _{1},...,\pi _{n-g}}$ — система псевдокоординат;

${\displaystyle G_{1},...,G_{n-g}}$ — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: ${\displaystyle \delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{n-g}}$;

функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные ${\displaystyle t,q_{1},...,q_{n},{\dot {\pi }}_{1},...,{\dot {\pi }}_{n-g},{\ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{n-g}}$ (в обозначениях переменных ${\displaystyle {\ddot {\pi }}_{i}}$ только одна из точек — производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

• PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
• PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — М.: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.