Принцип стационарности действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов. Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера — Лагранжа.
Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (фр.P. Maupertuis) в 1744 году, сразу же указав на его универсальную природу и считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.
Ещё античные натурфилософы (например, Аристотель) предполагали, что «природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь»[1]. Однако конкретный смысл терминов «кратчайший» или «легчайший» при этом не уточнялся[2]. Клавдий Птолемей показал, что при отражении луча света его общий путь является кратчайшим в том случае, когда угол отражения равен углу падения, что и наблюдается на практике. Однако он предостерёг, что в случае преломления света путь (ломаная линия) уже не будет кратчайшим.
Первым в истории науки вариационный принцип сформулировал Пьер Ферма в 1662 году, и он относился именно к преломлению света. Ферма показал, что критерием в данном случае является не путь, а время — луч преломляется под таким углом, чтобы суммарное время в пути было минимально[3]. В современных обозначениях принцип Ферма можно записать как
Математическое исследование и развитие принципа Ферма провёл Христиан Гюйгенс[4], после чего тему активно обсуждали крупнейшие учёные XVII века. Лейбниц в 1669 году ввёл в физику фундаментальное понятие действия: «Формальные действия движения пропорциональны… произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скорости».
Параллельно с анализом основ механики развивались методы решения вариационных задач. Исаак Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии» (1687 год) поставил и решил первую вариационную задачу: найти такую форму тела вращения, движущегося в сопротивляющейся среде вдоль своей оси, для которой испытываемое сопротивление было бы наименьшим. Почти одновременно появились и другие вариационные проблемы: задача о брахистохроне (1696), форма цепной линии и др.
Решающие события произошли в 1744 году. Леонард Эйлер опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»), а Пьер Луи де Мопертюи в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума». Далее Эйлер сформулировал этот закон: траектория тела осуществляет минимум . Затем он применил его, выведя законы движения в однородном поле тяжести и в нескольких других случаях.
В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной лёгкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».
Новый этап начался в 1760—1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году — он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.
В 1834—1835 годах Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал ещё более общий вариационный принцип, из которого следовали все более ранние как частные случаи:
Подход Гамильтона оказался универсальным и высокоэффективным в математических моделях физики, особенно для квантовой механики. Его эвристическая сила была подтверждена при создании общей теории относительности, когда Давид Гильберт применил гамильтонов принцип для вывода окончательных уравнений гравитационного поля (1915 год).
Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.
Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики. На примере физической системы с одной[5]степенью свободы, напомним, что действие — это функционал относительно (обобщённых) координат (в случае одной степени свободы — одной координаты ), то есть оно выражается через так, что каждому мыслимому варианту функции сопоставляется некоторое число — действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции вычислить вполне определённое число — также называемое действием). Действие имеет вид
где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты, её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени. Если система имеет большее число степеней свободы , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.
То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщённых координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).
Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории , какой бы «дикой» и «неестественной» она ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:
Между двумя заданными точками тело движется так, чтобы действие было стационарным.
Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа, а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определённой задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.
Аналогично гамильтонова механика получается из принципа наименьшего действия. Действие в этом случае наиболее естественно записать[6] как
где — функция Гамильтона данной системы; — (обобщённые) координаты,
— сопряжённые им (обобщённые) импульсы,
характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем и .
Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей — магнитных зарядов — в электромагнитном поле. Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа[источник не указан 802 дня].
Примеры
Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера — Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v) в евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера — Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии
В полярных координатах кинетическая энергия и, следовательно, функция Лагранжа становится
Радиальная и угловая компонента уравнений становятся, соответственно:
Решение этих двух уравнений:
с константамиa, b, c, d, определяющимися начальными условиями. Таким образом, действительно, решение — это прямая линия, заданная в полярных координатах.
В механике сплошных сред и классической теории поля
Аналогично вводится понятие действия в механике сплошной среды и классической теории поля. В них действие включает в себя интеграл от лагранжевой плотности, зависящей от параметров среды (поля) в каждой точке пространства и их производных по пространственным координатам и времени. Получаемые варьированием действия уравнения движения становятся уравнениями в частных производных.
Принцип стационарности действия оказался одним из самых простых способов обеспечить релятивистскую инвариантность уравнений движения — для этого достаточно, чтобы лагранжева плотность была скаляром (инвариантом) при преобразованиях системы референции, например, преобразованиях Лоренца. Из-за этого роль принципа существенно возросла в релятивистской физике. В частности, теорема Нётер, определяющая сохраняющиеся величины при временно́й эволюции полевых систем, относится именно к лагранжевым системам.
Надо заметить, что применение принципа стационарности действия к теории калибровочных полей (например, к электродинамике) иногда сталкивается с некоторыми специфическими проблемами, впрочем, разрешимыми.
частица движется из начального состояния в конечное сразу по всем мыслимым траекториям (которых, очевидно, бесконечное число). Амплитуда вероятности перехода из одного заданного состояния в другое является суммой амплитуд по всем этим траекториям и записывается в виде функционального интеграла
Здесь — это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а — постоянная Планка. Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само́, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.
Математический анализ этого выражения в классическом пределе — при достаточно больших , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты, показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем — минимуму). Это — чисто математический факт из теории функций комплексного переменного; на нём, например, основан метод стационарной фазы.
В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к стационарным (то есть классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это — квантовомеханический вывод классического принципа стационарности действия.
Открытие формулировки квантования в терминах функциональных интегралов (часто также говорят: «интегралы по путям», «интегралы по траекториям» или «суммирование историй»), как и установление её связи с классическим пределом, принадлежит Ричарду Фейнману, творчески развившему идею Поля Дирака.
В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей — с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности.
↑Эйлер Л.Диссертация о принципе наименьшего действия, с разбором возражений славнейшего проф. Кёнига, выдвинутых против этого принципа // Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз, 1959. — С. 96—108.
↑Для системы со многими степенями свободы всё записывается аналогично, только вместо одной обобщённой координаты используется несколько (или даже — для бесконечномерных систем — бесконечное количество) обобщённых координат . Пример системы с одной степенью свободы рассматривается вначале для простоты.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Полак Л. С. В. Р. Гамильтон и принцип стационарности действия. — М.: Изд-во АН СССР, 1936. — 272 с.
Румянцев В. В.Леонард Эйлер и вариационные принципы механики // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. — М.: Наука, 1988. — 518 с. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 180—207.
Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Пер с англ. — М.: Мир, 1968. — 384 с.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6: Электродинамика. Пер. с англ. 3-е изд. — М.: Эдиториал УРСС, 2004. — 352 с. — ISBN 5-354-00704-6. — Глава 19: Принцип наименьшего действия.
Кушниренко А. Н. Введение в квантовую теорию поля. — М.: Высшая школа, 1971. — 304 с.
150th Special Operations Squadron Boeing C-32B as flown by the squadronActive1956–2008unknown–presentCountry United StatesAllegiance New JerseyBranch Air National GuardRoleTransportPart ofNew Jersey Air National Guard 108th Wing 108th Operations Group Garrison/HQMcGuire Air Force Base, Wrightstown, New JerseyNickname(s)Guardians of the GateMotto(s)Count on Us Bet on Us[citation needed]DecorationsAir Force Outstanding Unit Award[1]Insignia150th Special Ope…
Ираклеониты — ученики гностика Ираклеона (II век). Упоминаются как особая секта Епифанием и Августином; при крещении и миропомазании они соблюдали обряд помазания елеем и при этом произносили воззвания на арамейском языке, которые должны были освободить душу от власти …
Music movement New wave of American heavy metalOther namesNWOAHMNew wave of American metalStylistic originsAlternative metalgroove metalmetalcoremelodic death metalindustrial metalnu metalCultural originsEarly–mid 1990s, United StatesTypical instrumentsVocalselectric guitarbass guitardrumsOther topicsNew Wave of British Heavy Metal The new wave of American heavy metal (also known as NWOAHM and new wave of American metal) was a heavy metal music movement that originated in the United States dur…
1995 greatest hits album by Tatsuro YamashitaTreasuresGreatest hits album by Tatsuro YamashitaReleasedNovember 13, 1995Recorded1976, 1983–1995StudioSmile GarageSony Music Roppongi StudioSound City StudioOnkio HausGenreJapanese popLength70:32LabelEast West/Moon, Warner Music JapanProducerTatsuro YamashitaTatsuro Yamashita chronology Season's Greetings(1993) Treasures(1995) Cozy(1998) Treasures (トレジャーズ, Torejāzu) is the compilation album by Japanese singer-songwriter Tatsuro…
هنري كيلسي معلومات شخصية الميلاد 1667غرينيتش الوفاة 1724غرينيتش مواطنة مملكة بريطانيا العظمى الحياة العملية المهنة مستكشف تعديل مصدري - تعديل هنري كيلسي (بالإنجليزية: Henry Kelsey) ( 1667 - 1 نوفمبر 1724)، ويعرف أيضا باسم بوي كيلسي، كان تاجر الفراء إنجليزي، ومستكشف، والبحار ال…
Aristofanes Nama dalam bahasa asli(grc) Ἀριστοφάνης BiografiKelahirank. 445 SM Athena Kematian385 SM (59/60 tahun)Athena KegiatanSpesialisasiSastra dan drama Pekerjaancomedy writer, penulis drama, penyair GenreComedy AliranKomedi Kuno Dipengaruhi olehPindaros, Euripides dan Socrates Karya kreatifKarya terkenal(392 SM) Assemblywomen(405 SM) Katak-katak(408 SM) Plutus(411 SM) Thesmophoriazusae(412 SM) Lysistrata(414 SM) Burung-burung(421 SM) Peace(422 SM) The Wasps(423 SM)…
American biochemist Lloyd A. QuartermanBorn(1918-05-31)May 31, 1918Philadelphia, Pennsylvania, USDied1982Chicago, IllinoisNationalityAmericanAlma materSt. Augustine's College, Northwestern UniversityScientific careerFieldsgaseous diffusion method of obtaining fissionable materialsInstitutionsManhattan Project, Argonne National Laboratory Lloyd Albert Quarterman (May 31, 1918 – July 1982) was an American chemist working mainly with fluorine. During the Second World War he was one of the fi…
Romanian fascist politician (1906–1993) Horia SimaVice President of the Council of MinistersIn office14 September 1940 – 20 January 1941MonarchMichael IPrime MinisterIon AntonescuPreceded byGheorghe MihailSucceeded byMihai AntonescuMinister of Culture and Religious AffairsIn office4 July 1940 – 8 July 1940Prime MinisterIon GigurtuPreceded byConstantin C. GiurescuSucceeded byRadu BudișteanuCommander of the Iron GuardIn office16 June 1938 – 23 January 1941Preced…
NASA scientific research program Living With a Star program logo Living With a Star (LWS) is a NASA scientific program to study those aspects of the connected Sun-Earth system that directly affect life and society. LWS is a crosscutting initiative with goals and objectives relevant to NASA's Exploration Initiative, as well as to NASA's Strategic Enterprises. The program is managed by the Heliophysics Science Division of NASA's Science Mission Directorate. LWS is composed of three major component…
American college basketball season This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 2011–12 Tennessee State Tigers basketball team – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2024) (Learn how and when to remove this message) 2011–12 Tennessee State Tigers men's basketballCIT, First RoundConferenc…
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Cincin – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Cincin di jari Mary Nevill, 1559. Cincin berasal dari abad 20an di mesir Cincin adalah perhiasan yang melingkar di jari. Cincin dapat dipakai oleh perem…
USS Kingman History United States NameKingman NamesakeKingman County, Kansas BuilderMissouri Valley Bridge and Iron Co. Laid down8 January 1945 Launched17 April 1945 Commissioned27 June 1945 Decommissioned15 January 1947 Stricken1 October 1977 IdentificationAPB-47 FateSold for scrapping, 19 November 1980 NotesShip International Radio Callsign: NDBD General characteristics Class and typeBenewah-class barracks ship Displacement4,000 tons Length328 ft (100 m) Beam50 ft (15 m) Dr…
Device placed near the ears that plays sound For other uses, see Headphones (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Headphones – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2017) (Learn how and when to remove this message) Headphones on a stand Wireless headphones Headphones are…
Voce principale: 1. Fußball-Club Nürnberg Verein für Leibesübungen. 1. Fußball-Club Nürnberg Verein für LeibesübungenStagione 2002-2003Sport calcio Squadra Norimberga Allenatore Klaus Augenthaler (1ª-30ª) Wolfgang Wolf (31ª-34ª) All. in seconda Dieter Lieberwirth Bundesliga17º posto Coppa di GermaniaOttavi di finale Maggiori presenzeCampionato: Kampa (34)Totale: Müller, Kampa (36) Miglior marcatoreCampionato: Ćirić (12)Totale: Ćirić (16) StadioFrankenstadion Maggior numero…
First Lady of MaltaL-Ewwel Mara ta' MaltaFlag of MaltaIncumbentMiriam Vellasince 4 April 2019ResidenceSan Anton Palace First Lady of Malta[1] (Maltese: L-Ewwel Mara ta' Malta) or First Gentleman of Malta (L-Ewwel Raġel ta' Malta) is the title and position held by the spouse of the president of Malta, concurrent with the president's term in office.[2] The current titleholder is First Lady Miriam Vella, who has held the position since April 2019.[1] The president and …
Town in Kerala, India Village in Kerala, IndiaMalampuzha-IVillageMalampuzha-ILocation in Kerala, IndiaShow map of KeralaMalampuzha-IMalampuzha-I (India)Show map of IndiaCoordinates: 10°49′N 76°39′E / 10.817°N 76.650°E / 10.817; 76.650Country IndiaStateKeralaDistrictPalakkadGovernment • BodyMalampuzha Grama PanchayatArea • Total174.58 km2 (67.41 sq mi)Population (2011)[1] • Total11,879 •…
Free library for creating PDF documents PopplerDeveloper(s)freedesktop.orgInitial release4 March 2005; 19 years ago (2005-03-04)[nb 1]Stable release24.07.0[2] / 1 July 2024; 26 days ago (1 July 2024)[1] Repositorygitlab.freedesktop.org/poppler/poppler Written inC++Operating systemLinux, Unix, BSD, WindowsTypeLibraryLicenseGPLv2 or GPLv3[3]Websitepoppler.freedesktop.org Poppler is a free and open-source software library for rend…
Code name for Pakistan's Nuclear Bomb Program Project 706After nine years of effort Project-706 was vindicated in Pakistan's first nuclear test, Chagai-I, 28 May 1998.Active1974–1983Disbanded11 March 1983CountryPakistanAllegiance PakistanBranchPakistan Army Corps of EngineersNickname(s)Kahuta ProjectColours CodeGreen and White EngagementsCold WarOperation OperaOperation Smiling BuddhaSoviet–Afghan WarCommandersNotablecommanders Zulfiqar Ali Bhutto Gen. Zia-ul-Haq Gen. Zahid …