Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого ${\displaystyle n>1}$ существует такое число ${\displaystyle k=k(n)}$, что всякое натуральное число ${\displaystyle N}$ может быть представлено в виде:

${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad }$

с целыми неотрицательными ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}}$.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом^[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня^[2].

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено ${\displaystyle k=4}$ для проблемы в случае ${\displaystyle n=2}$.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом^[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод^[4]. Они ввели две функции — ${\displaystyle g(n)}$ и ${\displaystyle G(n)}$; ${\displaystyle g(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant 1}$; ${\displaystyle G(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}$. (Ясно, что ${\displaystyle G(n)\leqslant g(n)}$.) Харди и Литтлвуд дали для ${\displaystyle G(n)}$ оценку снизу ${\displaystyle n<G(n)}$, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов^[5].

Функция ${\displaystyle g(n)}$ известна. Для более фундаментальной функции ${\displaystyle G(n)}$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых ${\displaystyle n}$.

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года^[6], что:

${\displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2}$.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен^[7] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)^[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений ${\displaystyle n}$, превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений ${\displaystyle g(n)}$:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …^[9]

Примечательно, что, например, для ${\displaystyle n=3}$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм^[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для ${\displaystyle G(n)}$. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n}$.

Применяя сконструированную им ${\displaystyle p}$-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил^[11] эту оценку. При ${\displaystyle n\geqslant 400}$:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n}$.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года^[12], затем — в 1995 году^[13]:

${\displaystyle G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)}$.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью^[14], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года^[15].

Фактически величина ${\displaystyle G(n)}$ известна только для двух значений аргумента, именно ${\displaystyle G(2)=4}$ и ${\displaystyle G(4)=16}$.

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом ${\displaystyle G(2)=4}$.

Легко доказать, что ${\displaystyle G(3)\geqslant 4}$. Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что ${\displaystyle G(3)\leqslant 7}$ в 1943 году^[5]. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть ${\displaystyle G(3)=4}$), так как из чисел, меньших 1.3⋅10⁹, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью^[16]. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число^[17]. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850^[18] соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676^[18] соответственно.

Известно значение для ${\displaystyle G(4)}$ — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт^[19].

• Для чисел вида 31·16ⁿ необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
• Число 79 требует 19 четвёртых степеней.
• Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее 13 792, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10²⁴⁵ в 2000 году^[20], а для остальных чисел в 2005 году^[21] улучшением результата Дэвенпорта.

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что ${\displaystyle G(5)<G(4)}$.

Помимо точных значений ${\displaystyle G(n)}$ открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»^[22].

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху ${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$^[23].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков^[24], однако в единственной статье 2009 года^[25] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха^[26].

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной ${\displaystyle 2}$.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,}$ представимы в виде ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу ${\displaystyle N}$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как ${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из ${\displaystyle n^{2}}$, то одним квадратом можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/2}}$. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/4}}$. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

${\displaystyle \min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — любое, ${\displaystyle N\geqslant N_{1}(\varepsilon )}$. Заменить ${\displaystyle 1/4}$ в предыдущем рассуждении на ${\displaystyle 1/4-c}$ со сколь угодно малым фиксированным ${\displaystyle c>0}$, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века^[27].

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил^[28][29] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$,

где ${\displaystyle N_{i}}$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$, а ${\displaystyle x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }}$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$, а если ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$, то существуют такие ${\displaystyle N_{i}}$, что система не имеет решений.

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$, а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$. Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи^[30].

	В Викитеке есть тексты по теме: «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)»

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.
• Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 272.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases (англ.). — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94656-X.
• А. Буфетов, А. Я. Канель. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252
• Б. И. Сегал, Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке