Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана

Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана квадратичная форма ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ с неотрицательными целыми переменными ${\displaystyle x,y,z}$, обладающая необычными свойствами.[1][2]

Свойства формы, открытые Рамануджаном

Рамануджан рассматривал это выражение в примечании к своей статье[3], опубликованной в 1916 году. Описав необходимые и достаточные условия того, что целое не может быть представлено формой ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$ для некоторых ${\displaystyle a,b,c}$, Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут создать впечатление, что существуют столь же простые свойства для форм ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$ при любых ${\displaystyle a,b,c}$. Однако представляется, что в большинстве случаев всё не так просто».[3] Чтобы подкрепить это утверждение Рамануджан привёл свойства формы, которая теперь называется его именем.

• Все чётные числа, не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ имеют вид ${\displaystyle 4^{p}(16q+6)}$.
• Нечётные числа, не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ — 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... не описываются простым законом.

Числа больше 391

Многоточие в конце списка означало, что он неполон, но Рамануджан не сказал, считает он список конечным или бесконечным. В 1927 Бёртон и Гордон нашли не представимое число 679 и доказали, что остальные нечётные вплоть до 2000 представимы формой Рамануджана[2]. В 1941 году, Гупта[4] нашёл не представимое число 2719 и доказал, что других таких чисел нет вплоть до 20000. После создания современных компьютеров Голуэй проверил, что не представимых формой Рамануджана нечётных чисел больше нет вплоть до ${\displaystyle 10^{10}}$.[1] Исходя из этого Кен Оно^[англ.] и Сундарараджан предложили гипотезу:[1]

Все нечётные положительные целые не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ это 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Известные результаты

Хотя гипотеза Оно полностью не доказана, относительно представимости чисел формой Рамануджана были получены важные новые результаты.[1]

• Все целые вида ${\displaystyle 10n+5}$ представимы.
• Все нечётные не свободные от квадратов представимы.
• Существует только конечное число непредставимых нечётных чисел.
• Если обобщённая гипотеза Римана верна, то верна и гипотеза Оно.

Примечания

1. Ono, Ken; Soundararajan, Kannan. Ramanujan's ternary quadratic form (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1997. — Vol. 130, no. 3. — P. 415–454. — doi:10.1007/s002220050191. Архивировано 18 июля 2019 года.
2. Jones, Burton W.; Pall, Gordon. Regular and semi-regular positive ternary quadratic forms (неопр.) // Acta Mathematica. — 1939. — Т. 70, № 1. — С. 165–191. — doi:10.1007/bf02547347.
3. S. Ramanujan. On the expression of a number in the form ax^2 + by^2 + cz^2 + du^2 (англ.) // Proc. Camb. Phil. Soc.^[англ.] : journal. — 1916. — Vol. 19. — P. 11–21.
4. Gupta, Hansraj. Some idiosyncratic numbers of Ramanujan (англ.) // Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A^[англ.] : journal. — 1941. — Vol. 13, no. 6. — P. 519—520. — doi:10.1007/BF03049015. Архивировано 8 июля 2020 года.