N-группа (теория групп)

N-группа — это группа, все локальные подгруппы (то есть нормализаторы нетривиальных p-подгрупп) которой разрешимы. Неразрешимые случаи Томпсон классифицировал во время работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Простые N-группы

Простые N-группы классифицировал Томпсон[1][2][3][4][5][6] в серии из 6 статей общим объёмом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из специальных линейных групп ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)}$, групп Сузуки^[англ.] ${\displaystyle \mathrm {Sz} (2^{2n+1})}$, унитарной группы ${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3)}$, знакопеременной группы A₇, группы Матьё M₁₁ и группы Титса. (Группа Титса была опущена в исходном докладе Томпсона в 1968, но Хирн указал, что она также является простой N-группой). Более обще, Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut(G), содержащей G для некоторой простой N-группы G.

Горенстейн и Лайонс[7] обобщили теорему Томпсона на случай групп, у которых все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственные простые группы, которые при этом добавилась — это унитарные группы U₃(q).

Доказательство

Горенстейн[8] даёт сводку классификации Томпсона N-групп.

Простые числа, делящие порядок группы, делятся на четыре класса ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}}$

• ${\displaystyle \pi _{1}}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа нетривиальна и циклическая.
• ${\displaystyle \pi _{2}}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P является нециклической, но SCN₃(P) пуста
• ${\displaystyle \pi _{3}}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P имеет непустую SCN₃(P) и P нормализуют нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с p.
• ${\displaystyle \pi _{4}}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P имеет непустую SCN₃(P), но не нормализует нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с p.

Доказательство делится на несколько случаев, в зависимости от того, какому из этих четырёх классов простое 2 принадлежит, а также от целого e, которое является наибольшим целым, для которого существует элементарная абелева^[англ.] подгруппа ранга e, нормализованная нетривиальной 2-подгруппой.

• 1968 Томпсон[1] дал общее введение, высказав главную теорему и доказав предварительные леммы.
• 1970 Томпсон[2] описал группы E₂(3) и S₄(3) (в обозначениях Томпсона, это исключительная группа G₂(3) и симплектическая группа Sp₄(3)), которые N-группами не являются, но их описание необходимо для доказательства основной теоремы.
• 1971 Томпсон[3] рассмотрел случай ${\displaystyle 2\notin \pi _{4}}$. Теорема 11.2 показывает, что в случае ${\displaystyle 2\in \pi _{2}}$ группа является группой ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)}$ или ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{3}(3)}$. Возможность ${\displaystyle 2\in \pi _{3}}$ исключена, показав, что любая такая группа должна быть C-группой и с помощью классификации Сузуки C-групп проверяется, что ни одна из групп, найденных Сузуки, не удовлетворяет этому условию.
• 1973 Томпсон[4][5] рассмотрел случаи ${\displaystyle 2\in \pi _{4}}$ и ${\displaystyle e\geqslant 3}$ или ${\displaystyle e=2}$. Он показал, что либо G является C-группой, так что это группа Сузуки, или удовлетворяет описанию групп E₂(3) и S₄(3) в его второй статье, которые не являются N-группами.
• 1974 Томпсон[5] рассмотрел случай ${\displaystyle 2\notin \pi _{4}}$ и e=1, где единственным возможным вариантом является случай, когда G является C-группой или группой Титса.

Следствия

Минимальная простая группа — это нециклическая простая группа, все собственные подгруппы которой разрешимы. Полный список минимальных простых групп дал Томпсон[9]

• PSL₂(2^p), p простое.
• PSL₂(3^p), p нечётное простое.
• PSL₂(p), p > 3 простое, сравнимое с 2 или 3 mod 5
• Sz(2^p), p нечётное простое.
• PSL₃(3)

Другими словами, нециклические конечные простые группы^[англ.] должны иметь подфактор, изоморфный одной из этих групп.

Примечания

1. Thompson, 1968.
2. Thompson, 1970.
3. Thompson, 1971.
4. Thompson, 1973.
5. Thompson, 1974.
6. Thompson, 1974b.
7. Gorenstein, Lyons, 1976.
8. Gorenstein, 1980, с. 16.5.
9. Thompson, 1968, с. corollary 1.

Литература

• Gorenstein D., Lyons R. Nonsolvable finite groups with solvable 2-local subgroups // Journal of Algebra. — 1976. — Т. 38. — С. 453–522. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(76)90233-7.
• Gorenstein D. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1968. — Т. 74. — С. 383–437. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1968-11953-6.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. II // Pacific Journal of Mathematics. — 1970. — Т. 33. — С. 451–536. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1970.33.451.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. III // Pacific Journal of Mathematics. — 1971. — Т. 39. — С. 483–534. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1971.39.483.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. IV // Pacific Journal of Mathematics. — 1973. — Т. 48. — С. 511–592. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1973.48.511.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. V // Pacific Journal of Mathematics. — 1974. — Т. 50. — С. 215–297. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1974.50.215.
• John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. VI // Pacific Journal of Mathematics. — 1974b. — Т. 51. — С. 573–630. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1974.51.573.