Тригонометрическая сумма

Пример: тригонометрическая сумма над квадратичными вычетами по модулю ${\displaystyle m=11}$. Разнонаправленность векторов (изгиб пути из разноцветных линий) делает абсолютное значение суммы (длину жёлтой линии) меньше числа слагаемых. Это общий момент для тригонометрических сумм в целом, а модуль таких сумм при растущем ${\displaystyle m}$ и вовсе имеет порядок ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$.

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида ${\displaystyle e(\varphi ):=\cos \varphi +i\sin \varphi \ .}$

Такие суммы по значениями ${\displaystyle \varphi }$, образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения ${\displaystyle e(\varphi )}$ не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

${\displaystyle e(\varphi )=e^{2\pi \varphi i}}$

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда ${\displaystyle \varphi }$ рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

${\displaystyle e_{q}(a):=e\left({\frac {a}{q}}\right)=e^{2\pi {\frac {a}{q}}i}\ .}$

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю ${\displaystyle q}$. Они наиболее популярны.

Метод тригонометрических сумм — один из самых мощных и развивающихся в современной теории чисел. Лишь некоторые виды сумм изучены достаточно хорошо, чтобы результаты о них можно было классифицировать, а уровень знаний считать устоявшимся. Для приложений в теории чисел бывает достаточно очень слабых, но нетривиальных оценок той или иной тригонометрической суммы. Часто такие оценки изучаются и просто сами по себе, ввиду общепризнанной важности развития методов их изучения.

Основные свойства

Через тригонометрические суммы можно выражать утверждения о равенстве нулю:

• для любых ${\displaystyle m\in {\mathbb {N} },\ a\in {\mathbb {Z} }}$ верно, что[1] ${\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{m-1}{e_{m}(ax)}={\begin{cases}m,&a\equiv 0{\pmod {m}}\\0,&a\not \equiv 0{\pmod {m}}\end{cases}}}$;

• аналогично, для любого ${\displaystyle n\in {\mathbb {Z} }}$ верно, что[2] ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{e(\alpha n)d\alpha }={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{cases}}}$.

Используя общую структуру абелевых групп, можно получить аналогичные выражения для любой такой группы вместо ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{m}}$ и ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$.

При выводе оценок часто используют соображения о том, что:

• произведение и сопряжение (а значит, и чётные степени модулей[3]) тригонометрических сумм также будет тригонометрической суммой — перемножая суммы, по-разному группируя слагаемые и применяя неравенство Гёльдера, можно переходить от одного множества или уравнения к другим, решая ту же задачу;

• для любых ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}}$ верна[4] тривиальная оценка ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\sum \limits _{i=1}^{n}e(\varphi _{i})}{\Bigg \vert }\leq n}$.

Приложения

Число решений уравнений

Выражение

Для множеств ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$ и функции ${\displaystyle f:A_{1}\times \dots \times A_{k}\to {\mathbb {Z} }_{m}}$ число решений уравнения

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})\equiv 0{\pmod {m}},\ x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}$

можно выразить через тригонометрическую сумму как сумму скобок Айверсона:

${\displaystyle \sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots ,x_{k})\equiv 0{\pmod {m}}]}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1}{e_{m}(tf(x_{1},\dots ,x_{k}))}\ .}$

Аналогично, для целочисленной ${\displaystyle f}$ и решений ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=0}$ допустимо представление

${\displaystyle \sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots ,x_{k})=0]}=\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\int \limits _{0}^{1}e(\alpha f(x_{1},\dots ,x_{k}))d\alpha \ .}$

Эти конструкции легко обобщить на системы уравнений[5].

В качестве уравнения может выступать в том числе формула представления числа в виде суммы — типичный объект изучения аддитивной теории чисел[6].

Использование

Тригонометрические выражения наиболее полезны когда функция ${\displaystyle f}$ хорошо разлагается на слагаемые. Например, если

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{k}(x_{k})\ ,}$

то, меняя порядок суммирования, можно получить выражение

${\displaystyle \sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1}{e_{m}(t(f_{1}(x_{1})+\dots f_{k}(x_{k})))}=\sum \limits _{t=0}^{m-1}\prod \limits _{i=1}^{k}\left(\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}\right)\leq \sum \limits _{t=0}^{m-1}\prod \limits _{i=1}^{k}{\Bigg \vert }\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}{\Bigg \vert }\ .}$

Суммы ${\displaystyle \sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}}$ по отдельности друг от друга не имеют комбинаторной интерпретации, но могут быть оценены аналитически. Именно это делает метод тригонометрических сумм нетривиальным.

При ${\displaystyle t=0}$ все слагаемые вырождаются в ${\displaystyle e(0)=1}$, так что эта часть суммы всегда равна ${\displaystyle |A_{1}|\dots |A_{k}|}$ и называется главным членом. Поэтому оценки числа решений через тригонометрические суммы чаще всего не могут быть лучше чем ${\displaystyle {\frac {|A_{1}|\dots |A_{k}|}{m}}}$. В частности, именно такая величина нужна в доказательстве равномерного распределения. При работе с интегралами роль главного члена среди интервала ${\displaystyle [0;1]}$ выполняют окрестности несократимых дробей с малыми знаменателями[7].

Нюансы

О связи уравнений и тригонометрических сумм следует отметить два нюанса. Во-первых, иногда бывает удобно переходить не от уравнения к суммам, а наоборот в ходе оценке суммы после её преобразований переходить к анализу простого или известного уравнения[8]. Во-вторых, чисто комбинаторные преобразования уравнений можно выражать на языке тригонометрических сумм. Поэтому в литературе, посвящённой тригонометрическим суммам, часто эти преобразования так и излагают, без упоминания о том, что то же самое можно сделать элементарно[9]. Тем не менее, существует много случаев, когда прямое элементарное переложение невозможно.

Равномерное распределение

Если функцию, так или иначе связанную с умножением, применить к интервалу, то тригонометрическая сумма над получившимся множеством, как правило, будет иметь порядок ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, где ${\displaystyle n}$ — длина интервала (число слагаемых). Этот эффект известен как «square-root barier» и свидетельствует о равномерном распределении множества с очень малым остаточным членом (порядка ${\displaystyle {\sqrt {n}}\log p}$).
На графике ${\displaystyle g}$ — первообразный корень, ${\displaystyle {\rm {ind}}}$ — дискретный логарифм. Для других больших интервалов вместо ${\displaystyle [1;p/5]}$ результаты будут похожими.

Для любого интервала ${\displaystyle I=\{M,M+1,\dots ,N-1,N\}}$ в кольце вычетов ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{m}}$ можно оценить связанную с ним тригонометрическую сумму

${\displaystyle \sum \limits _{a=1}^{m}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x\in I}{e_{m}(ax)}}{\Bigg \vert }}\leq m\ln m}$

Благодаря этому оценку тригонометрических сумм над множеством в ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{m}}$ можно преобразовывать в утверждение о его равномерном распределении в ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{m}}$[10]:

Если для множества ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{m}}$ и любого ${\displaystyle t\in {\mathbb {Z} }_{m}\setminus \{0\}}$ верна оценка ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(ta)}}{\Bigg \vert }=o\left({\frac {|A|}{\log m}}\right)}$, то для любых ${\displaystyle 0\leq \delta _{1}<\delta _{2}\leq 1}$ можно показать, что ${\displaystyle |A\cap [\delta _{1}m;\delta _{2}m]|=(\delta _{2}-\delta _{1}+o(1))|A|}$

Чаще всего подобные результаты удобно получать для простого ${\displaystyle m}$. Известны оценки таких сумм для квадратичных вычетов[11], других степеней[12], индексов (дискретных логарифмов) чисел из интервала[13], обратных элементов для интервала[14] и даже для произвольной мультипликативной подгруппы размера ${\displaystyle p^{\varepsilon }}$ (для любого фиксированного ${\displaystyle \varepsilon >0}$)[15]. Похожий метод применим для доказательства равномерного распределения вещественных последовательностей в интервале ${\displaystyle (0;1)}$.

По аналогии с этим, суммы мультипликативных характеров можно воспринимать как показатель равномерности относительно структуры мультипликативной группы ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$. Такие суммы хорошо изучены для интервалов, множества значений многочленов и сдвигов простых чисел[16].

История

Первое использование тригонометрических сумм относят к исследованию Гаусса о квадратичном законе взаимности (1795 г.[17]). Он оценивал суммы с квадратичными вычетами, то есть вида ${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}{e_{p}(ax^{2})},\ a\in {\mathbb {Z} }_{p}}$[18]. Вскоре Дирихле применил суммы характеров с коэффициентами к изучению распределения простых чисел в арифметических прогрессиях[19].

В конце XIX — начале XX века тригонометрических суммы стали использовать для исследования распределения последовательностей[20][21].

Значимым событием стало применение тригонометрических сумм к решению проблемы Варинга двумя способами: круговым методом Харди-Литтлвуда и переосмыслившим его методом И. М. Виноградова[22]. Виноградов впоследствии развил свой метод для получения результатов о простых числах, в том числе решения тернарной проблемы Гольдбаха для достаточно больших чисел[23] и аналога проблемы Варинга для простых чисел[24].

Клаус Рот и позже Уильям Тимоти Гауэрс применили технику кругового метода для доказательства теоремы Семереди[25]. Впоследствии тригонометрические суммы были использованы во многих задачах аддитивной комбинаторики[26].

Суммы с собственными названиями

• суммы Рамануджана для ${\displaystyle a\in {\mathbb {Z} }_{q},\ (a,q)=1}$:

${\displaystyle \sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e_{q}(ax)}}$

• суммы Гаусса ${\displaystyle a\in {\mathbb {Z} }_{q}}$:

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{q}{e_{q}(ax^{2})}}$

• суммы Вейля для многочлена ${\displaystyle f}$ с вещественными (не целыми) коэффициентами и интервала ${\displaystyle [a;b]}$:

${\displaystyle \sum \limits _{a\leq n\leq b}{e(f(n))}}$

• суммы Клоостермана, связанные с обратными элементами ${\displaystyle x^{-1}}$, где ${\displaystyle x\in {\mathbb {Z} }_{p},\ xx^{-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$. Например, для ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {Z} }_{q}}$:

${\displaystyle \sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e(ax+bx^{-1})}}$

• дискретное преобразование Фурье[27] для индикаторной функции множества ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{m},\ t\in {\mathbb {Z} }_{m}}$:

${\displaystyle {\widehat {A}}(t)=\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(at)}}$

• мультилинейные суммы[28] для множеств ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {Z} }_{m}}$:

${\displaystyle \sum \limits _{a_{1}\in A_{1}}\dots \sum \limits _{a_{k}\in A_{k}}{e_{m}(a_{1}\dots a_{k})}}$

• суммы мультипликативных характеров[29] по множеству ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*}}$ (функция ${\displaystyle {\rm {ind}}}$ означает дискретный логарифм, а параметр ${\displaystyle t\in {\mathbb {Z} }_{p}}$ соответствует выбранному характеру):

${\displaystyle \sum \limits _{a\in A}{e_{p}(t\cdot {\rm {ind}}(a))}\ ,}$

Обобщения

При изучении некоммутативных групп характеры представлений можно использовать для определения аналогов коэффициентов Фурье[30].

Литература

• И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971. — 158 с. — 7500 экз.

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 185 с.

• А, А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.

• Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 1946. — Т. 1, вып. 3–4. — С. 147–193.

• А. А. Карацуба. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле (рус.) // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63, вып. 4. — С. 43–92.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана (рус.) // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4. — С. 79–109.

• М. З. Гараев. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Т. 65, вып. 4 (394). — С. 5—66. — doi:10.4213/rm9367.

• И. Д. Шкредов. Анализ Фурье в комбинаторной теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Вып. 3. — С. 127—184.

• W. T. Gowers. A new proof of Szemerédi's theorem (англ.) // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2001. — Vol. 11. — P. 465–588. — doi:10.1007/s00039-001-0332-9.

• И. Д. Шкредов. О двумерном аналоге теоремы Семереди в абелевых группах (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2009. — Т. 73, вып. 5. — С. 181–224.

• J. Bourgain. Multilinear Exponential Sums in Prime Fields Under Optimal Entropy Condition on the Sources (англ.) // Geometric and Functional Analysis. — 2009. — Vol. 18. — P. 1477–1502. — doi:10.1007/s00039-008-0691-6.

• N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov. On a modular form of Zaremba's conjecture (англ.). — 2019. — arXiv:1911.07487.

Примечания

1. В случае ${\displaystyle m\not \mid a}$ для доказательства достаточно умножить сумму на ${\displaystyle e_{m}(a)}$ (значение не изменится). См. также Сегал, 1946, с. 149, формула (2)
2. Сегал, 1946, с. 173, § 35
3. Поскольку ${\displaystyle |x|^{2}=x{\overline {x}}}$ для любого ${\displaystyle x\in {\mathbb {C} }}$
4. По неравенству треугольника для комплексной плоскости
5. См., например, Карацуба, 1983, с. 84, лемма 1.а
6. См. Сегал, 1946, с. 181, формула (61), а также Карацуба, 1983, с. 157, формула (1)
7. Карацуба, 1983, с. 158.
8. См., например, переход в Королёв, 2016 в конце с. 81 или там же к переход к уравнению (4) на с. 87, или Гараев, 2010, с. 59—61
9. Например, в Карацуба, 1983 лемма 4.б на с. 84 обосновывается через выражение числа решений интегралом тригонометрических сумм, хотя тот же результат можно получить, применив перестановочное неравенство к набору чисел ${\displaystyle a_{s_{1},\dots ,s_{n}}=\#\{(x_{1},\dots ,x_{k}):\forall j\leq n:x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}=s_{j}\}}$.
10. См. пример подобных рассуждений для множества квадратичных вычетов в Сегал, 1946, с. 152—153. Доказательство состоит в применении общей техники анализа уравнения к выражению ${\displaystyle a-x\equiv 0{\pmod {m}},\ a\in A,x\in I}$. См. также общий подход к сравнения в Гараев, 2010, с. 7, лемма 1.1.
11. Сегал, 1946, с. 151.
12. Сегал, 1946, с. 159—160 (§ 17)
13. Сегал, 1946, с. 158—159 (§ 16)
14. Королёв, 2016, теорема 3
15. Bourgain, 2009, следствие на с. 1478; см. также обзор этого доказательства в Гараев, 2010, с. 39—47
16. Карацуба, 2008, с. 49—50.
17. Чандрасекхаран, 1974, с. 179, см. примечание к главе V, § 1
18. Впоследствии были получены аналогичные результаты и для других степеней и даже многочленов. См. Виноградов, 1971, с. 5—8
19. Чандрасекхаран, 1974, с. 182, см. примечание к главе X, § 5
20. Чандрасекхаран, 1974, с. 120—130,181.
21. Сегал, 1946, с. 151—153.
22. Сегал, 1946, с. 178.
23. Карацуба, 1983, см. финальное утверждение на с. 172
24. Виноградов, 1971, глава 9
25. См. изложение доказательства Рота в Шкредов, 2010, с. 134,139-142, обзор метода Гауэрса там же в разделе 4, а также Gowers, 2001
26. Шкредов, 2010.
27. Gowers, 2001, с. 470—471; см. также обобщение для произвольных абелевых групп в Шкредов, 2009, с. 184,187
28. См. Bourgain, 2009, теорема B
29. Карацуба, 2008, с. 45, формула (3)
30. Moshchevitin, Shkredov, 2019, раздел 3