Суммы Клоостермана

Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).

Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}}$.[1]

Определение

Пусть ${\displaystyle q\geq 3}$ – произвольное целое число и для ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q}}$ взаимопростого с ${\displaystyle q}$ введено обозначение ${\displaystyle n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}}$. Тогда для ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$ полной суммой Клоостермана называется сумма вида

${\displaystyle S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .}$

Неполной называется сумма по некоторому интервалу ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$.[2]

Иногда рассматриваются суммы по простым[3], полилинейные суммы с участием обратных элементов[4] и другие суммы вида ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$, где ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q}}$.

При заданном ${\displaystyle q}$ обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$, в том числе величина ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)}}$.

Свойства

При ${\displaystyle a=0}$ полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.

Если ${\displaystyle (q_{1},q_{2})=1}$, то ${\displaystyle S(q)=S(q_{1})S(q_{2})}$, поэтому вопрос оценки ${\displaystyle S(q)}$ сводится к случаю ${\displaystyle q=p^{n}}$.

Оценки

${\displaystyle |S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q}}}$, где ${\displaystyle \tau (q)}$ – число делителей. Из этого следует, что ${\displaystyle \sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)}$ для любого ${\displaystyle x<q}$.[5]

Для сумм последнего вида при ${\displaystyle q=p,\ b=0}$ известны также другие оценки, нетривиальные при ${\displaystyle x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)}$.[6]

Примечания

1. Kloosterman, 1926.
2. Королёв (1), 2016, с. 80.
3. Baker, 2012.
4. Бургейн, Гараев, 2014.
5. Королёв (1), 2016, формула (1) и теорема 3
6. Бургейн, Гараев, 2014, теорема 16; см. также обзор подобных результатов в Королёв (2), 2016, с. 838–839

Литература

• H. D. Kloosterman. On the representation of numbers in the form ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}}$ (англ.) // Acta Math.. — 1926. — Vol. 49, iss. 1. — P. 407–464.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана (рус.) // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4. — С. 79–109.

• М. А. Королёв. О коротких суммах Клоостермана по простому модулю (рус.) // Математические заметки. — 2016. — Т. 100, вып. 6. — С. 838–846.

• Ж. Бургейн, М. З. Гараев. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана (рус.) // Известия РАН. — 2014. — Т. 78, вып. 4. — С. 19–72. — arXiv:1211.4184.

• R. C. Baker. Kloosterman sums with prime variable (англ.) // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156. — P. 351–372.