Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств
L
p
{\displaystyle L^{p}}
.
Формулировка
Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
— пространство с мерой , а
L
p
≡
L
p
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}
— пространство функций вида
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
с конечной интегрируемой
p
{\displaystyle p}
‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма :
‖
f
‖
p
=
(
∫
X
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}}
,
где
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
, обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
, а
g
∈
L
q
{\displaystyle g\in L^{q}}
, где
p
,
q
≥
1
,
1
/
p
+
1
/
q
=
1
{\displaystyle p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1}
. Тогда
f
⋅
g
∈
L
1
{\displaystyle f\cdot g\in L^{1}}
, и
‖
f
⋅
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
⋅
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}
.
Доказательство
Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть
X
{\displaystyle X}
— пространство с мерой
μ
{\displaystyle \mu }
,
E
⊂
X
{\displaystyle E\subset X}
,
E
{\displaystyle E}
измеримо. Тогда:
f
∈
L
p
,
g
∈
L
q
,
p
>
1
,
1
p
+
1
q
=
1
⇒
∫
E
|
f
g
|
d
μ
<
+
∞
,
∫
E
|
f
g
|
d
μ
≤
(
∫
E
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
{\displaystyle f\in L^{p},g\in L^{q},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|g|^{q}\,d\mu \right)^{1/q}}
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга ):
a
,
b
≥
0
,
p
>
1
,
1
p
+
1
q
=
1
⇒
a
1
/
p
b
1
/
q
≤
a
p
+
b
q
{\displaystyle a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{1/p}b^{1/q}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}}
Положим
a
=
|
f
(
x
)
|
p
∫
E
|
f
|
p
d
μ
b
=
|
g
(
x
)
|
q
∫
E
|
g
|
q
d
μ
I
1
=
∫
E
|
f
|
p
d
μ
>
0
I
2
=
∫
E
|
g
|
q
d
μ
>
0
{\displaystyle a={\dfrac {|f(x)|^{p}}{\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu }}\quad b={\dfrac {|g(x)|^{q}}{\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu >0}
Применяя неравенство, получаем:
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
≤
I
1
1
/
p
I
2
1
/
q
(
|
f
(
x
)
|
p
p
⋅
I
1
+
|
g
(
x
)
|
q
q
⋅
I
2
)
{\displaystyle |f(x)g(x)|\leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {|f(x)|^{p}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{q}}{q\cdot I_{2}}}\right)}
Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству
E
{\displaystyle E}
(отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по
E
{\displaystyle E}
, получаем:
∫
E
|
f
g
|
d
μ
≤
I
1
1
/
p
I
2
1
/
q
(
1
p
+
1
q
)
=
I
1
1
/
p
I
2
1
/
q
{\displaystyle \int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}}
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если
I
1
{\displaystyle I_{1}}
или
I
2
{\displaystyle I_{2}}
равен 0, то это значит, что
f
{\displaystyle f}
или
g
{\displaystyle g}
эквивалентны нулю на
E
{\displaystyle E}
, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.
Частные случаи
Неравенство Коши — Буняковского
Положив
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства
L
2
{\displaystyle L^{2}}
.
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
или
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
.
L
p
{\displaystyle L^{p}}
-норма в этом пространстве имеет вид:
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
,
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⊤
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }}
,
и тогда
∑
i
=
1
n
|
x
i
⋅
y
i
|
≤
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
i
=
1
n
|
y
i
|
q
)
1
/
q
,
∀
x
,
y
∈
E
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x,y\in E}
.
Пространство lp
Пусть
X
=
N
,
F
=
2
N
,
m
{\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}
— счётная мера на
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
. Тогда множество всех последовательностей
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
, таких что:
‖
x
‖
p
=
∑
n
=
1
∞
|
x
n
|
p
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty }
,
называется
l
p
{\displaystyle l^{p}}
. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:
∑
n
=
1
∞
|
x
n
⋅
y
n
|
≤
(
∑
n
=
1
∞
|
x
n
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
n
=
1
∞
|
y
n
|
q
)
1
/
q
,
∀
x
∈
l
p
,
y
∈
l
q
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}}
.
Вероятностное пространство
Пусть
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
— вероятностное пространство . Тогда
L
p
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
состоит из случайных величин с конечным
p
{\displaystyle p}
-м моментом :
E
[
|
X
|
p
]
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }
, где символ
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
обозначает математическое ожидание . Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:
E
|
X
Y
|
≤
(
E
|
X
|
p
)
1
/
p
⋅
(
E
|
Y
|
q
)
1
/
q
,
∀
X
∈
L
p
,
Y
∈
L
q
{\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}}
.
См. также
Литература
Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М. : Наука , 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1 .
Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М. : Наука , 1973. — 352 с.