Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle a,b\geqslant 0}$ и ${\displaystyle p,q>\!\ 1}$ — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$). Тогда

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$.

Равенство достигается в том и только том случае, когда ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$.

Доказательство

Для ${\displaystyle a=0}$ или ${\displaystyle b=0}$ неравенство очевидно. Для ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b>0}$ неравенство следует из выпуклости вверх логарифмической функции: для любых ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}>0}$

${\displaystyle \ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1}$.

Положив в этом неравенстве ${\displaystyle \alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a^{p},~x_{2}=b^{q}}$, получим, что

${\displaystyle \ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln(a^{p})}{p}}+{\frac {\ln(b^{q})}{q}}=\ln \left(ab\right)}$,

откуда следует неравенство Юнга.

Альтернативный вариант

Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:

${\displaystyle f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x,}$

где ${\displaystyle f^{\star }(y)=\max _{x}\left\lbrace xy-f(x)\right\rbrace }$ — преобразование Лежандра от функции ${\displaystyle f(x)}$. Если положить ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{p}}{p}}}$, то преобразование Лежандра в точке ${\displaystyle y=x^{p-1}}$ даёт

${\displaystyle f^{\star }(y)=xy-{\frac {x^{p}}{p}}={\frac {y^{q}}{q}},}$

где ${\displaystyle {\frac {1}{q}}=1-{\frac {1}{p}}}$. Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

См. также

• Теорема Юнга