Неравенство Йенсена

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Формулировки

Сумматорный вариант неравенства

Пусть функция ${\displaystyle f}$ является выпуклой на некотором интервале ${\displaystyle I}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ (веса) таковы, что

${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}$.

Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из ${\displaystyle I}$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n}),}$

или

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$.

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}$:

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}$.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Доказательство

Доказательство проводится методом математической индукции.

• Для ${\displaystyle \ n=2}$ неравенство следует из определения выпуклой функции как функции, надграфик которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$ и ${\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))}$, лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны ${\displaystyle q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}}$.
• Допустим, что неравенство верно для какого-либо натурального числа ${\displaystyle \ n}$, докажем, что оно верно и для ${\displaystyle \ n+1}$, то есть

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})}$.

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых ${\displaystyle \ q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})}$ одним слагаемым

${\displaystyle (q_{n}+q_{n+1})\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n})+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n+1})\right)}$;

это даст возможность воспользоваться неравенством для ${\displaystyle \ n}$ и установить, что выражение выше не превосходит суммы

${\displaystyle q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{n+1})f\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)}$.

Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для ${\displaystyle \ n=2}$. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Геометрическая интерпретация

Точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ является выпуклой комбинацией ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ плоскости, лежащих на графике функции ${\displaystyle f}$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции ${\displaystyle f}$, а это и означает, что ${\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}$.

Интегральная формулировка

Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — выпуклая функция, ${\displaystyle \mu }$ — вероятностная мера, а функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi (f)}$ интегрируемы. Тогда[1]

${\displaystyle \varphi \left(\int f\,d\mu \right)\leqslant \int \varphi (f)\,d\mu .}$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Вероятностная формулировка

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, то

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]}$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

• Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}}$ — положительные числа, ${\displaystyle p,q>1}$, причём ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}$, или ${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$. Потенцируя, получаем неравенство ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$.

В частности, при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{\phantom {1}}\!x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}$. Положив ${\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$ и потенцируя, получаем:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}$ (выпуклая функция). Имеем: ${\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}.}$

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

Примечания

1. Durrett R.. Probability: Theory and Examples (англ.). — 5th ed.. — Cambridge University Press, 2019. — P. 25. — doi:10.1017/9781108591034.

Литература

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.