Проблема Варинга

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого ${\displaystyle n>1}$ существует такое число ${\displaystyle k=k(n)}$, что всякое натуральное число ${\displaystyle N}$ может быть представлено в виде:

${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad }$

с целыми неотрицательными ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}}$.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом[1][2], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня[3].

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено ${\displaystyle k=4}$ для проблемы в случае ${\displaystyle n=2}$.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом[4], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод[5]. Они ввели две функции — ${\displaystyle g(n)}$ и ${\displaystyle G(n)}$; ${\displaystyle g(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant 1}$; ${\displaystyle G(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}$. (Ясно, что ${\displaystyle G(n)\leqslant g(n)}$.) Харди и Литтлвуд дали для ${\displaystyle G(n)}$ оценку снизу ${\displaystyle n<G(n)}$, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов[6].

Функция ${\displaystyle g(n)}$ известна. Для более фундаментальной функции ${\displaystyle G(n)}$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых ${\displaystyle n}$.

Функция g(n)

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года[7], что:

${\displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2}$.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен[8] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)[9] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений ${\displaystyle n}$, превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений ${\displaystyle g(n)}$:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …[10]

Примечательно, что, например, для ${\displaystyle n=3}$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм[11], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для ${\displaystyle G(n)}$. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n}$.

Применяя сконструированную им ${\displaystyle p}$-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил[12] эту оценку. При ${\displaystyle n\geqslant 400}$:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n}$.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года[13], затем — в 1995 году[14]:

${\displaystyle G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)}$.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью[15], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года[16].

Границы[15]
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина ${\displaystyle G(n)}$ известна только для двух значений аргумента, именно ${\displaystyle G(2)=4}$ и ${\displaystyle G(4)=16}$.

Сумма квадратов: G(2)

Основная статья: Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом ${\displaystyle G(2)=4}$.

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что ${\displaystyle G(3)\geqslant 4}$. Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что ${\displaystyle G(3)\leqslant 7}$ в 1943 году[6]. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть ${\displaystyle G(3)=4}$), так как из чисел, меньших 1.3⋅10^9, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью[17]. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число[18]. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850[19] соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676[19] соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для ${\displaystyle G(4)}$ — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт[20].

• Для чисел вида 31·16^n необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
• Число 79 требует 19 четвёртых степеней.
• Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее 13 792, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10^245 в 2000 году[21], а для остальных чисел в 2005 году[22] улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10^9, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10^9, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что ${\displaystyle G(5)<G(4)}$.

Помимо точных значений ${\displaystyle G(n)}$ открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»[23].

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху ${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$[24].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков[25], однако в единственной статье 2009 года[26] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха[27].

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной ${\displaystyle 2}$.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,}$ представимы в виде ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу ${\displaystyle N}$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как ${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из ${\displaystyle n^{2}}$, то одним квадратом можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/2}}$. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/4}}$. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

${\displaystyle \min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — любое, ${\displaystyle N\geqslant N_{1}(\varepsilon )}$. Заменить ${\displaystyle 1/4}$ в предыдущем рассуждении на ${\displaystyle 1/4-c}$ со сколь угодно малым фиксированным ${\displaystyle c>0}$, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века[28].

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил[29][30] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$,

где ${\displaystyle N_{i}}$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$, а ${\displaystyle x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }}$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$, а если ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$, то существуют такие ${\displaystyle N_{i}}$, что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$, а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$. Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи[31].

Примечания

1. Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
2. Варинг, Эдвард // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.
3. 11P05 Waring’s problem and variants // Mathematical Subject Classification, 2010 Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine
4. Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
5. Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
6. Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
7. Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
8. Niven, Ivan M. An unsolved case of the Waring problem (англ.) // American Journal of Mathematics : journal. — The Johns Hopkins University Press, 1944. — Vol. 66, no. 1. — P. 137—143. — doi:10.2307/2371901. — JSTOR 2371901.
9. Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II (англ.) // Mathematika^[англ.] : journal. — 1957. — Vol. 4. — P. 122—124.
10. последовательность A002804 в OEIS
11. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
12. Карацуба, А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга (рус.) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1985. — № 49:5. — С. 935—947.
13. Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
14. Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
15. Vaughan R. C., Wooley T. D. Number Theory for the Millennium (неопр.). — A. K. Peters^[англ.], 2002. — Т. III. — С. 301—340. — ISBN 978-1-56881-152-9. Архивировано 15 октября 2012 года.
16. Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
17. Nathanson (1996, p. 71) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFNathanson1996 (помощь)
18. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by. 7373170279850 (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 2000. — Vol. 69, no. 229. — P. 421—439. — doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
19. Władysław Narkiewicz. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 с. — ISBN 9780857295323.
20. Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
21. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard. Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results (неопр.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux^[англ.]. — 2000. — Т. 12. — С. 411—422. — doi:10.5802/jtnb.287. Архивировано 16 июня 2011 года.
22. JM Deshouillers and K Kawada and TD Wooley. On Sums of Sixteen Biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100) (англ.) // Société Mathématique de France. — 2005.
23. Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
24. Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
25. И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков  (неопр.). Дата обращения: 31 октября 2014. Архивировано 1 ноября 2014 года.
26. Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
27. Рецензия: Zbl 1220.11128
28. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22
29. Архипов Г. И., Карацуба А. А. Многомерный аналог проблемы Варинга (неопр.) // Докл. АН СССР. — 1987. — № 295:3. — С. 521—523.
30. Karatsuba A. A. Waring's problem in several dimension (неопр.) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. — 1988. — № 42. — С. 5—6.
31. О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.
• Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 272.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases (англ.). — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94656-X.
• А. Буфетов, А. Я. Канель. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252
• Б. И. Сегал, Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке