Теорема Гильберта — Шмидта

Теоре́ма Ги́льберта — Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора ${\displaystyle A}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ существует ортонормированная система ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ собственных элементов, соответствующих собственным значениям ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ оператора ${\displaystyle A}$, такая, что для любого ${\displaystyle x\in H}$ имеет место представление

${\displaystyle x=\sum _{k}\xi _{k}x_{k}+x_{0},\ x_{0}\in \operatorname {Ker} \,A,\ Ax=\sum _{k}\lambda _{k}\xi _{k}x_{k},}$

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора ${\displaystyle A}$. Если их бесконечное число, то ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=0}$.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора ${\displaystyle (Kg)(x)=\int \limits _{G}\!K(x,y)g(y)\,dy}$, теорема переформулируется так: если функция ${\displaystyle f(x)}$ истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ (т.е. ${\displaystyle \exists g(x)\in L^{2}(G)}$, такая, что ${\displaystyle f(x)=(Kg)(x)}$), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ сходится абсолютно и равномерно на ${\displaystyle G}$ к этой функции:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }(f,\varphi _{k})\varphi _{k}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(g,\varphi _{k})}{\lambda _{k}}}\varphi _{k}(x),}$

где ${\displaystyle \varphi _{k}}$ и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям ${\displaystyle \lambda _{k}}$.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 263-266. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта