Аксиоматика Гильберта

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемые понятия

Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Гильберта являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных отношения:

• Лежать между, применимо к точкам;
• Принадлежать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
• Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ${\displaystyle \cong }$.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено иное.

Аксиомы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

• аксиомы принадлежности:
  • планиметрические:
    1. Каковы бы ни были две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, существует прямая ${\displaystyle a}$, которой принадлежат эти точки.
    2. Каковы бы ни были две различные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
    3. Каждой прямой ${\displaystyle a}$ принадлежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой.
  • cтереометрические:
    1. Каковы бы ни были три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость ${\displaystyle \alpha }$, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
    2. Каковы бы ни были три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
    3. Если две различные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, принадлежащие прямой ${\displaystyle a}$, принадлежат некоторой плоскости ${\displaystyle \alpha }$, то каждая точка, принадлежащая прямой ${\displaystyle a}$, принадлежит указанной плоскости.
    4. Если существует одна точка ${\displaystyle A}$, принадлежащая двум плоскостям ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, то существует, по крайней мере, ещё одна точка ${\displaystyle B}$, принадлежащая обеим этим плоскостям.
    5. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
• аксиомы порядка:
  • линейные:
    1. Если точка ${\displaystyle B}$ прямой ${\displaystyle a}$ лежит между точками ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ той же прямой, то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ — различные точки указанной прямой, причём ${\displaystyle B}$ лежит также и между ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle A}$.
    2. Каковы бы ни были две различные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$, на определяемой ими прямой существует, по крайней мере, одна точка ${\displaystyle B}$ такая, что ${\displaystyle B}$ лежит между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$, и, по крайней мере, одна точка ${\displaystyle D}$, такая, что ${\displaystyle C}$ лежит между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$.
    3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими.
  • планиметрическая:
    1. Аксиома Паша. Пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ — три точки, не лежащие на одной прямой, и ${\displaystyle a}$ — прямая в плоскости (${\displaystyle ABC}$), не проходящая ни через одну из точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$. Если при этом прямая ${\displaystyle a}$ проходит через точку отрезка ${\displaystyle AB}$, то она непременно проходит через точку отрезка ${\displaystyle AC}$ или точку отрезка ${\displaystyle BC}$.
• аксиомы конгруэнтности:
  • линейные:
    1. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — две точки, лежащие на прямой ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle A'}$ — точка на той же прямой или на другой прямой ${\displaystyle a'}$, то по данную от точки ${\displaystyle A'}$ сторону прямой ${\displaystyle a'}$ найдётся, и притом только одна, точка ${\displaystyle B'}$ такая, что отрезок ${\displaystyle A'B'}$ конгруэнтен отрезку ${\displaystyle AB}$. Каждый отрезок ${\displaystyle AB}$ конгруэнтен отрезку ${\displaystyle BA}$.
    2. Если отрезки ${\displaystyle A'B'}$ и ${\displaystyle A''B''}$ конгруэнтны одному и тому же отрезку ${\displaystyle AB}$, то они конгруэнтны и между собой.
    3. Пусть ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ — два отрезка прямой ${\displaystyle a}$, не имеющие общих внутренних точек, ${\displaystyle A'B'}$ и ${\displaystyle B'C'}$ — два отрезка той же прямой, или другой прямой ${\displaystyle a'}$, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок ${\displaystyle AB}$ конгруэнтен отрезку ${\displaystyle A'B'}$, а отрезок ${\displaystyle BC}$ конгруэнтен отрезку ${\displaystyle B'C'}$, то отрезок ${\displaystyle AC}$ конгруэнтен отрезку ${\displaystyle A'C'}$.
  • планиметрические:
    1. Если даны угол ${\displaystyle \angle ABC}$ в плоскости ${\displaystyle \alpha }$ и луч ${\displaystyle B'C'}$ в плоскости ${\displaystyle \beta }$, тогда в плоскости ${\displaystyle \beta }$ существует ровно один луч ${\displaystyle B'D}$ по определённую сторону от ${\displaystyle B'C'}$ (и соответственно второй луч ${\displaystyle B'E}$ по другую сторону от ${\displaystyle B'C'}$), такой, что ${\displaystyle \angle DB'C'}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \angle ABC}$ (и соответственно ${\displaystyle \angle EB'C'}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \angle ABC}$). Следствие: Каждый угол конгруэнтен самому себе.
    2. Если для двух треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A'B'C'}$ имеют место конгруэнции: ${\displaystyle AB\cong A'B'}$, ${\displaystyle AC\cong A'C'}$, ${\displaystyle \angle BAC\cong \angle B'A'C'}$, то всегда имеют место и конгруэнции: ${\displaystyle \angle ABC\cong \angle A'B'C'}$, ${\displaystyle \angle ACB\cong \angle A'C'B'}$.
• аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидову формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:
  • планиметрические:
    1. Пусть ${\displaystyle a}$ — произвольная прямая, и ${\displaystyle A}$ — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой ${\displaystyle A}$ и прямой ${\displaystyle a}$, можно провести не более одной прямой, проходящей через ${\displaystyle A}$ и не пересекающей ${\displaystyle a}$.
• аксиомы непрерывности:
  • линейные:
    1. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок ${\displaystyle CD}$ и луч ${\displaystyle AB}$, то существует число ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$ на ${\displaystyle AB}$ таких, что ${\displaystyle A_{j}A_{j+1}}$ ${\displaystyle \cong CD}$, ${\displaystyle 0\leqslant j<n}$, ${\displaystyle A_{0}}$ совпадает с ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle B}$ лежит между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A_{n}}$.
    2. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

21-я аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ так, чтобы точка ${\displaystyle B}$ лежала между точками ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$, а также между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$; точка ${\displaystyle C}$ — между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$, а также между ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$».

Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.

Полнота и непротиворечивость

Как доказал Альфред Тарский (1951), аксиоматика Гильберта логически полна, то есть любое (формальное) высказывание о содержащихся в ней геометрических понятиях может быть доказано или опровергнуто. Она также непротиворечива, если непротиворечива арифметика[1][2].

История

Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.

Другие системы аксиом

Создатели догильбертовских систем:

• Евклид
• Паш
• Шур
• Пеано (включает понятие «движение»)
• Веронезе
• М. Пиери (1899)

Родственные гильбертовой:

• В. Ф. Каган (1902)
• О. Веблен (1904)
• А. Колмогоров

Более современные аксиоматики:

• Аксиоматика Александрова
• Аксиоматика Бахмана
• аксиоматика Тарского
• аксиоматика Биркгофа — содержит «аксиому линейки» и «аксиому транспортира». Её варианты используются в большинстве американских школьных учебников, к ней близка аксиоматика Погорелова.
• Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.

Ссылки

• Д. Гильберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 356-363. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.

Примечания

1. Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. Геометрия. — С. 41—48. — 568 с.
2. Гильберта система аксиом  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2017. Архивировано 20 июля 2018 года.