Спектральная теорема

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения^[англ.] — то есть операторами вида ${\displaystyle \phi \mapsto f\phi }$ для фиксированной функции ${\displaystyle f}$. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Для любой эрмитовой матрицы ${\displaystyle A}$ на конечномерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ верно[1]:

1. Все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ вещественны;
2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$.

Доказательство

Лемма 1: для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$ и ${\displaystyle \mathbf {z} \in V}$ верно:

${\displaystyle (A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )}$

Доказательство леммы 1:

По определению:

${\displaystyle A=A^{*}}$

Следовательно:

${\displaystyle (A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)}$

Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ вещественны.

Рассмотрим ${\displaystyle \lambda }$ - собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор ${\displaystyle (\mathbf {x} \in V)\neq 0}$, для которого ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$.

Скалярно умножим обе части этого равенства на ${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle (A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$

По определению скалярного произведения:

${\displaystyle (\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)}$

С другой стороны, применяя лемму 1 к ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x} }$, получаем:

${\displaystyle (A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)}$

Из равенств ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (2)}$ следует:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$

Поскольку для любого ${\displaystyle (\mathbf {x} \in V)\neq 0}$ верно ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0}$, то:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}=\lambda }$

что означает ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$.

Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$. Тогда:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y} }$

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ - собственные вектора.

Умножим первое равенство на ${\displaystyle \mathbf {y} }$, а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$. В результате получим:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

Исходя из ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$ получаем, что ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$, то есть иными словами - вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства ${\displaystyle V}$

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1}}$, собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$, и соответствующий ему собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$.

Рассмотрим ${\displaystyle V_{1}}$ - множество всех векторов из ${\displaystyle V}$, ортогональных ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$.

Поскольку для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V_{1}}$ верно что ${\displaystyle (\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0}$, то согласно лемме 1:

${\displaystyle (\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0}$

Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {Ax} \in V_{1}}$.

Линейный оператор ${\displaystyle L(\mathbf {x} )=Ax}$, будучи ограниченным множеством ${\displaystyle V_{1}}$, также является эрмитовым, имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}}$ и соответствующий собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{2}} }$.

По определению ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ортогонален ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$.

Рассмотрим множество ${\displaystyle V_{2}}$ - множество векторов, ортогональных одновременно ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$. Аналогичным образом линейный оператор ${\displaystyle L(\mathbf {x} )=Ax}$ отображает ${\displaystyle V_{2}}$ на себя.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность ${\displaystyle \lambda _{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$, а также подпространства ${\displaystyle V_{k}}$, содержащие ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ и при этом ортогональные векторам ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}}$. Последовательность завершится на шаге ${\displaystyle n}$, поскольку ${\displaystyle \dim V_{k}=n-k}$.

Таким образом собственные вектора ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}}$ образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$

■

Спектральная теорема для унитарных матриц

Для любой унитарной матрицы ${\displaystyle U}$ на конечномерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ верно[1]:

1. Все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ имеют абсолютные величины, равные ${\displaystyle 1}$;
2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$.

Доказательство

Лемма 2: Для унитарной матрицы ${\displaystyle U}$ верно:

${\displaystyle (U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ - произвольные вектора из ${\displaystyle V}$

Доказательство леммы 2:

${\displaystyle (U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy=x^{*}y=(x,y)}$

Доказательство утверждения 1: Все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ имеют абсолютные величины, равные ${\displaystyle 1}$.

Рассмотрим ${\displaystyle \lambda }$ - собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор ${\displaystyle (\mathbf {x} \in V)\neq 0}$, для которого:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$.

Применяя лемму 2 получаем:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$

Поскольку ${\displaystyle \mathbf {x} \neq 0}$, то ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0}$, а следовательно:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1}$

Доказательство утверждения 2: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$. Тогда:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y} }$

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ - собственные вектора.

Перемножим эти два уравнения:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

Как было показано выше, ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Следовательно ${\displaystyle {\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}}$, откуда:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

Поскольку выше было сделано предположение, что ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$, то получаем:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

То есть вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3: Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$.

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1}}$, собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$, и соответствующий ему собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$.

Рассмотрим ${\displaystyle V_{1}}$ - множество всех векторов из ${\displaystyle V}$, ортогональных ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$.

Докажем, что для любого вектора ${\displaystyle \mathbf {x} \in V_{1}}$ верно ${\displaystyle A\mathbf {x} \in V_{1}}$.

Из леммы 2 следует, что ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$. Используя этот факт, получаем:

${\displaystyle (A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1}\mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0}$

Таким образом ${\displaystyle V_{1}}$ является собственным подпространством размерности ${\displaystyle \dim V-1}$ пространства ${\displaystyle V}$.

Поскольку линейный оператор ${\displaystyle L(\mathbf {x} )=Ax}$, будучи ограниченным множеством ${\displaystyle V_{1}}$, также является эрмитовым, имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}}$ и соответствующий собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{2}} }$.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность ${\displaystyle \lambda _{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$, а также подпространства ${\displaystyle V_{k}}$, содержащие ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ и при этом ортогональные векторам ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}}$. Последовательность завершится на шаге ${\displaystyle n}$, поскольку ${\displaystyle \dim V_{k}=n-k}$.

Таким образом собственные вектора ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}}$ образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$

■

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть ${\displaystyle A}$ является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. ${\displaystyle A}$ называют нормальным, если ${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$. Можно доказать, что ${\displaystyle A}$ является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем ${\displaystyle A=UTU^{*}}$, где ${\displaystyle U}$ является унитарным оператором, а ${\displaystyle T}$ — верхнетреугольным. Поскольку ${\displaystyle A}$ является нормальным, то ${\displaystyle TT^{*}=T^{*}T}$. Следовательно, ${\displaystyle T}$ является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, ${\displaystyle A}$ является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$ такая, что ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$, где ${\displaystyle \Lambda }$ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями ${\displaystyle A,}$ а векторы-столбцы матрицы ${\displaystyle U}$ являются собственными векторами ${\displaystyle A}$ (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы ${\displaystyle \Lambda }$ не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема Пусть ${\displaystyle A}$ является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве ${\displaystyle V}$. Существует ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V}$, состоящий из собственных векторов оператора ${\displaystyle A}$. При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор ${\displaystyle A}$ умножения на независимую переменную в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$, то есть ${\displaystyle \left[A\phi \right](t)=t\phi (t)}$.

Теорема Пусть ${\displaystyle A}$ является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$. Тогда существует пространство с мерой ${\displaystyle \left(X,\Sigma ,\mu \right)}$, вещественнозначная измеримая функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ и унитарный оператор ${\displaystyle U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)}$ такие, что ${\displaystyle U^{*}TU=A}$, где ${\displaystyle T}$ является оператором умножения^[англ.], то есть ${\displaystyle \left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)}$.

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь ${\displaystyle f}$ может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор ${\displaystyle A}$ как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере^[англ.]. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье^[англ.]).

Литература

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
• Paul Halmos, «What Does the Spectral Theorem Say?», American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241—247

Примечания

1. A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). Purdue science, Department of Mathematics (26 октября 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019. Архивировано 20 февраля 2019 года.