Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координат

Прямая задана уравнением

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x₀,y₀) равно [1]

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Точка на прямой, наиболее близкая к (x₀,y₀), имеет координаты [2]

${\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x₀, y₀) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y₀ — (-c/b)| = |by₀ + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax₀ + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

${\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0}$

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. Тогда расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]

${\displaystyle |d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|}$

Прямая задана двумя точками

Если прямая проходит через две точки P₁=(x₁,y₁) и P₂=(x₂,y₂), и необходимо найти расстояние от ${\displaystyle M=(x_{0},y_{0})}$ до прямой, то можно воспользоваться следующими способами:

Способ 1. Искомое расстояние равно

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}$

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P₁ и P₂. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x₀,y₀), P₁ и P₂ (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$, где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Способ 2. Сначала находится ближайшая точка на прямой к точке ${\displaystyle M}$ по формуле

${\displaystyle M_{p}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}*{({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},{\overrightarrow {P_{1}M}}) \over \lVert {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\rVert ^{2}}}$.

Тогда искомое расстояние равно

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},M)=\lVert {\overrightarrow {MM_{p}}}\rVert }$.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x₀, y₀). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}$

Таким образом, ${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$ и после возведения в квадрат получим:

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}-2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)=0.}$

Рассмотрим,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}$

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$ [5].

Геометрическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x₀, y₀) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:

${\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}$

Если точка S имеет координаты (x₀,m), то |PS| = |y₀ — m| и расстояние от P до прямой равно:

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

и получаем: [6]

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}$, где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить ${\displaystyle |{\overline {TU}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {VU}}|}$ и ${\displaystyle |{\overline {VT}}|}$в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора

Рисунок доказательства с помощью проекции вектора

Пусть P — точка с координатами (x₀, y₀) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x₁, y₁) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}$ на n. Длина этой проекции равна:

${\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}$

Теперь

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$ так что ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ и ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Тогда

${\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Поскольку Q лежит на прямой, ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}$, а тогда [8][9][10]

${\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Другие формулы

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами (${\displaystyle x_{0},y_{0}}$). Пусть прямая задана уравнением ${\displaystyle y=mx+k}$. Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением ${\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}$.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}$

Мы можем решить это уравнение по x,

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}$

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}$

Подставив полученные значения в формулу расстояния ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$, получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.}$

Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].

Формулировка с помощью векторов

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$,

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

Эта формула геометрически строится следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда ${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }$ — это длина проекции на прямую, а тогда

${\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

— это вектор, являющийся проекцией ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ на прямую. Тогда

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

является компонентой вектора ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$, перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления^[англ.] ${\displaystyle {\vec {u}}}$, то расстояние от точки A до прямой (d) равно

${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$,

где ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}}$ — векторное произведение векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}}$ и ${\displaystyle {\vec {u}}}$, а ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ — норма вектора ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

Ориентированное расстояние

Обзорная статья: Ориентация

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую с уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ где ${\displaystyle C\neq 0}$, то есть прямая не проходит через начало координат ${\displaystyle O}$, и произвольную точку ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1})}$. Тогда расстояние от точки до прямой равно следующему выражению[12]:

${\displaystyle d=|\delta |=\left|{\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right|}$

Возможны три случая[12]:

• знаки чисел ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle C}$ одинаковы. В этом случае точки ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle O}$ находятся по одну сторону от данной прямой;
• знаки чисел ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle C}$ противоположны. В этом случае точки ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle O}$ находятся по разные стороны от данной прямой;
• ${\displaystyle \delta =0}$, то есть ${\displaystyle Ax_{1}+By_{1}+C=0}$. В этом случае точка ${\displaystyle M_{1}}$ принадлежит данной прямой.

Ориентированное расстояние от точки до прямой — число

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}$

полученное из координат точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1})}$ и прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$, ${\displaystyle C\neq 0}$[12].

Обобщения

• Расстояние от точки в трёхмерном пространстве до плоскости задаётся аналогичной формулой[13]:

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+cz+d=0,(x_{0},y_{0},z_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

См. также

• Пересечение двух прямых^[англ.]
• Расстояние между двумя прямыми
• Расстояние между скрещивающимися прямыми

Примечания

1. Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
2. Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
3. Привалов, 1966, с. 67.
4. Делоне, Райков, 1948, с. 195.
5. Laudanski, 2014.
6. Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
7. Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
8. Anton, 1994, с. 138-9.
9. Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
10. Моденов, 1967, с. 152.
11. Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line  (неопр.). // softSurfer. Дата обращения: 6 декабря 2013. Архивировано 14 декабря 2017 года.
12. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 28. Расстояние от точки до прямой, с. 49.
13. OnlineMSchool  (неопр.). Дата обращения: 2 декабря 2020. Архивировано 17 января 2021 года.

Источники

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.

Литература

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
• Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
• Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
• Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
• Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
• Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
• Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
• Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литература

• Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. — xviii + 650 p. — ISBN 978-3-642-30957-1. — P. 86.