Проективное представление

Проективное представление группы ${\displaystyle G}$ на векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$ — это гомоморфизм ${\displaystyle G}$ в проективную группу

${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$

где ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ — полная линейная группа, а ${\displaystyle F^{*}}$ — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.[1] Иными словами, это набор операторов ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$ таких, что

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)}$

для некоторой константы ${\displaystyle c(g,h)\in F}$.

Некоторые проективные представления можно получить из представлений ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ с помощью факторотображения ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления ${\displaystyle \mathrm {GL} (V);}$ в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

• Специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,F)}$ дважды накрывается спинорной группой ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n,F)}$.
• В частности, группа вращений трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ накрывается ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$, изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
• Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ универсального накрытия группы Лоренца ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(3,1)}$.
• Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$, представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тривиальны, то всякое проективное унитарное представление ${\displaystyle G}$ может быть поднятно до обычного унитарного представления ${\displaystyle G}$.[2][3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. также

• Спинор
• Спинорная группа
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Расширение группы
• Симметрия в квантовой механике
• Теория представлений группы Лоренца

Примечания

1. Gannon, 2006, pp. 176–179.
2. Bargmann, 1954
3. Simms, 1971

Литература

• Bargmann, Valentine (1954), "On unitary ray representations of continuous groups", Annals of Mathematics, 59 (1): 1–46, doi:10.2307/1969831, JSTOR 1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Crelle's Journal, 139: 155–250
• Simms, D. J. (1971), "A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups", Reports on Mathematical Physics, 2 (4): 283–287, Bibcode:1971RpMP....2..283S, doi:10.1016/0034-4877(71)90011-5