Признак Куммера

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Формулировка

Пусть дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ и произвольная числовая последовательность $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ , такая что ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ расходится. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, если для всех $n>N$ выполняется неравенство:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta

,

где $\delta >0$ .

Если же $K_{n}\leqslant 0$ для $n>N$ , то ряд расходится.

Доказательство ^[1]

Дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

1. Доказательство сходимости. Пусть для всех $n$ выполняется неравенство:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta >0

.

Домножив обе части этого неравенства на $a_{n+1}$ , получим:

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}\geqslant \delta \cdot a_{n+1}$ ,

(*)

а поскольку $\delta >0$ , то:

c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}>0

,

c_{n}\cdot a_{n}>c_{n+1}\cdot a_{n+1}

.

Отсюда следует, что последовательность $c_{n}\cdot a_{n}$ монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}$ ), которая является суммой $n$ первых членов ряда

\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1})

,

который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}$ . Тогда, поскольку $a_{n}\leqslant \delta a_{n+1}$ , должен сходиться и данный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ расходится.

2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого $n>N$ выполняется неравенство:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\leqslant 0

или

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leqslant c_{n+1}

.

Разделив обе части этого неравенства на $c_{n+1}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ получим:

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\frac {1}{c_{n+1}}}{\frac {1}{c_{n}}}}

.

Так как по условиям теоремы ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ . ■