Признак Шлёмильха

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Если существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится.

Если же ${\displaystyle S_{n}\leqslant 1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n}$, то ряд расходится.

Если существует предел:

${\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }S_{n}}$

то при ${\displaystyle S>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle S<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle S=1}$, то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе^[1]. Например, для ряда:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}}}$,

соотношение соседних членов:

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2}}{4^{n}[n!]^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}}$;

признак Раабе для него даёт:

${\displaystyle R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1}$,

а признак Шлёмильха:

${\displaystyle S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 0}$

Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:

${\displaystyle B_{n}={\frac {\ln n}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 0}$.

Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:^[1]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}}$

Для него соотношение соседних членов:

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}}$

Признак Раабе для него даёт:

${\displaystyle R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n}}={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1}$,

также, как и признак Шлёмильха:

${\displaystyle S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1}$

С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:

${\displaystyle B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n}}-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xrightarrow {n\to \infty } 0}$.

• Subir Kumar Mukherjee. Theorem 15 // First Course in Real Analysis (англ.). — Kolkata: Academic Publishers, 2009. — P. 190. — 383 p. — ISBN 9788189781903.