|
Однородный звёздчатый многогранник  Однородный звёздчатый многогранник — самопересекающийся однородный многогранник. Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками, подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде звёздчатых многоугольников или иметь звёздчатые вершинные фигуры, но может содержать и то, и другое. Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо, 5 квазиправильных, и 48 полуправильных. Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм. Так же, как (невырожденные) звёздчатые многоугольники (которые имеют плотность[англ.] большую 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися частями, звёздчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность[англ.], большую 1, и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися частями. Существует 48 таких непризматических однородных звёздчатых многогранников. Оставшиеся 9 непризматических однородных звёздчатых многогранников имеют грани, проходящие через центр, являются полумногогранниками[англ.] и не соответствуют сферическим многогранникам, поскольку центр не может быть однозначно спроецирован на сферу. Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца. Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии, а внутри сгруппированы по расположению вершин. Правильные многогранники помечены их символами Шлефли. Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)). Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный, когда выпуклая оболочка набора вершин[англ.] имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты. Диэдральная симметрияСм. Призматический однородный многогранник. Тетраэдральная симметрия Существует один невыпуклый вид, тетрагемигексаэдр, который имеет тетраэдральную симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)). Существует два треугольника Шварца, из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр[англ.], который приведён ниже в разделе октаэдральной симметрии[англ.].
Октаэдральная симметрия Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с октаэдральной симметрией[англ.] (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2)). Существует четыре треугольника Шварца, которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).
Икосаэдральная симметрия Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с икосаэдральной симметрией (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию. Тело СкиллингаЕщё одним невыпуклым многогранником является большой биплосконосый биромбододекаэдр[англ.], известный также как тело Скиллинга, которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию Ih.
Вырожденные случаиКоксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:
См. также
ПримечанияЛитература
Ссылки
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
