Минимальная поверхность Каталана

Эта статья о минимальной поверхности; Про линейчатую поверхность см. Поверхность Каталана.

Минимальная поверхность Каталана.

В дифференциальной геометрии Минимальная поверхность Каталана — это минимальная поверхность, которую впервые исследовал Эжен Шарль Каталан в 1855 г. [1].

Геодезической линией этой поверхности является циклоида. В вычислительной геометрии, при использовании алгоритма заметающей прямой, для поверхности Катлана выметающей линией является парабола [2].

Параметрическое представление поверхности Каталана[3]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=u-\sin(u)\cosh(v)\\y(u,v)&=1-\cos(u)\cosh(v)\\z(u,v)&=4\sin(u/2)\sinh(v/2)\end{aligned}}}$

Примечания

1. Catalan, 1855, с. 1019–1023.
2. Dierkes, Hildebrandt, Sauvigny, 2010.
3. Gray, 1997, с. 692–693.

Литература

• Catalan E. Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires // Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. — 1855. — Вып. 41.
• Gray A. Catalan's Minimal Surface // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. — 2nd. — Boca Raton, Florida:: CRC Press, 1997.
• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny. Minimal Surfaces. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. — Т. 339. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-642-11697-1.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. "Catalan's Surface." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html
• Weiqing Gu, The Library of Surfaces. https://web.archive.org/web/20130317011222/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catalan.html