Ассоциированное семейство

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении ${\displaystyle \theta }$.

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса[1]. То есть, если поверхность имеет представление

${\displaystyle x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

семейство описывается формулой

${\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}$

При ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ поверхность называется сопряжённой поверхности ${\displaystyle \theta =0}$[2].

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным ${\displaystyle \zeta }$ остаются неизменными при изменении ${\displaystyle \theta }$. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении ${\displaystyle \theta }$.

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником[3].

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий[4].

Примечания

1. О данных Вейерштрасса можно прочитать в книге Кархер Г., Саймон Л., Фудзимото Х., Хильдебрандт С., Хоффман Д. Данные Вейерштрасса // Минимальные поверхности / Под ред. Оссермана Р.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6.
2. Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, in Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25–July 27, 2001. American Mathematical Soc., 2005 [1] Архивная копия от 12 июля 2019 на Wayback Machine
3. Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 September 1996 vol. 354 no. 1715 2077–2104 [2] Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
4. J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3] Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine

Литература