Метод сопряжённых градиентов

Метод сопряжённых градиентов (Метод Флетчера — Ривcа) — метод нахождения локального экстремума функции на основе информации о её значениях и её градиенте. В случае квадратичной функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ минимум находится не более чем за ${\displaystyle n}$ шагов.

Основные понятия

Определим терминологию:

Пусть ${\displaystyle {\vec {S_{1}}},\ldots ,{\vec {S_{n}}}\in \mathbb {X} \subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Введём на ${\displaystyle \mathbb {X} }$ целевую функцию ${\displaystyle f({\vec {x}})\in \mathrm {C^{2}} (\mathbb {X} )}$.

Векторы ${\displaystyle {\vec {S_{1}}},\ldots ,{\vec {S_{n}}}}$ называются сопряжёнными, если:

• ${\displaystyle {\vec {S_{i}}}^{T}H{\vec {S_{j}}}=0,\quad i\neq j,\quad i,j=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle {\vec {S_{i}}}^{T}H{\vec {S_{i}}}\geqslant 0,\quad i=1,\ldots ,n}$

где ${\displaystyle H}$ — матрица Гессе ${\displaystyle f({\vec {x}})}$.

Теорема (о существовании). Существует хотя бы одна система ${\displaystyle n}$ сопряжённых направлений для матрицы ${\displaystyle H}$, т.к. сама матрица ${\displaystyle H}$ (её собственные вектора) представляет собой такую систему.

Обоснование метода

Нулевая итерация

Иллюстрация последовательных приближений метода наискорейшего спуска (зелёная ломаная) и метода сопряжённых градиентов (красная ломаная) к точке экстремума.

Пусть ${\displaystyle {\vec {S_{0}}}=-\nabla f({\vec {x_{0}}})\qquad (1)}$

Тогда ${\displaystyle {\vec {x_{1}}}={\vec {x_{0}}}+\lambda _{1}{\vec {S_{0}}}\qquad }$.

Определим направление

${\displaystyle {\vec {S_{1}}}=-\nabla f({\vec {x_{1}}})+\omega _{1}{\vec {S_{0}}}\ \qquad (2)}$

так, чтобы оно было сопряжено с ${\displaystyle {\vec {S_{0}}}}$:

${\displaystyle {\vec {S_{0}}}^{T}H{\vec {S_{1}}}=0\qquad (3)}$

Разложим ${\displaystyle \nabla f({\vec {x}})}$ в окрестности ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$ и подставим ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x_{1}}}}$:

${\displaystyle \nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}})=H\,({\vec {x_{1}}}-{\vec {x_{0}}})=\lambda _{1}H{\vec {S_{0}}}}$

Транспонируем полученное выражение и домножаем на ${\displaystyle H^{-1}}$ справа:

${\displaystyle (\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}=\lambda _{1}{\vec {S_{0}}}^{T}H^{T}H^{-1}}$

В силу непрерывности вторых частных производных ${\displaystyle H^{T}=H}$. Тогда:

${\displaystyle {\vec {S_{0}}}^{T}={\frac {(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}}{\lambda _{1}}}}$

Подставим полученное выражение в (3):

${\displaystyle {\frac {(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}H{\vec {S_{1}}}}{\lambda _{1}}}=0}$

Тогда, воспользовавшись (1) и (2):

${\displaystyle (\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}(-\nabla f({\vec {x_{1}}})-\omega _{1}\nabla f({\vec {x_{0}}})))=0\qquad (4)}$

Если ${\displaystyle \lambda =\arg \min _{\lambda }f({\vec {x_{0}}}+\lambda {\vec {S_{0}}})}$, то градиент в точке ${\displaystyle {\vec {x_{1}}}={\vec {x_{0}}}+\lambda {\vec {S_{0}}}}$ перпендикулярен градиенту в точке ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$, тогда по правилам скалярного произведения векторов:

${\displaystyle (\nabla f({\vec {x_{0}}}),\nabla f({\vec {x_{1}}}))=0}$

Приняв во внимание последнее, получим из выражения (4) окончательную формулу для вычисления ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {||\nabla f({\vec {x_{1}}})||^{2}}{||\nabla f({\vec {x_{0}}})||^{2}}}}$

К-я итерация

На k-й итерации имеем набор ${\displaystyle {\vec {S_{0}}},\ldots ,{\vec {S_{k-1}}}}$.

Тогда следующее направление вычисляется по формуле:

${\displaystyle {\vec {S_{k}}}=-\nabla f({\vec {x_{k}}})-\|\nabla f({\vec {x_{k}}})\|^{2}{\cdot }\left({\frac {\nabla f({\vec {x}}_{k-1})}{\|\nabla f({\vec {x}}_{k-1})\|^{2}}}+\ldots +{\frac {\nabla f({\vec {x_{0}}})}{\|\nabla f({\vec {x}}_{0})\|^{2}}}\right)}$

Это выражение может быть переписано в более удобном итеративном виде:

${\displaystyle {\vec {S_{k}}}=-\nabla f({\vec {x_{k}}})+\omega _{k}{\vec {S}}_{k-1},\qquad \omega _{i}={\frac {\|\nabla f({\vec {x_{i}}})\|^{2}}{\|\nabla f({\vec {x}}_{i-1})\|^{2}}},}$

где ${\displaystyle \omega _{k}}$ непосредственно рассчитывается на k-й итерации.

Алгоритм

• Пусть ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ — начальная точка, ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — направление антиградиента и мы пытаемся найти минимум функции ${\displaystyle f({\vec {x}})}$. Положим ${\displaystyle {\vec {S}}_{0}={\vec {r}}_{0}}$ и найдём минимум вдоль направления ${\displaystyle {\vec {S}}_{0}}$. Обозначим точку минимума ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$.

• Пусть на некотором шаге мы находимся в точке ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$, и ${\displaystyle {\vec {r}}_{k}}$ — направление антиградиента. Положим ${\displaystyle {\vec {S}}_{k}={\vec {r}}_{k}+\omega _{k}{\vec {S}}_{k-1}}$, где ${\displaystyle \omega _{k}}$ выбирают либо ${\displaystyle {\frac {({\vec {r}}_{k},{\vec {r}}_{k})}{({\vec {r}}_{k-1},{\vec {r}}_{k-1})}}}$ (стандартный алгоритм — Флетчера-Ривса, для квадратичных функций с ${\displaystyle H>0}$), либо ${\displaystyle \max(0,{\frac {({\vec {r}}_{k},{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{k-1})}{({\vec {r}}_{k-1},{\vec {r}}_{k-1})}})}$ (алгоритм Полака–Рибьера). После чего найдём минимум в направлении ${\displaystyle {\vec {S_{k}}}}$ и обозначим точку минимума ${\displaystyle {\vec {x}}_{k+1}}$. Если в вычисленном направлении функция не уменьшается, то нужно забыть предыдущее направление, положив ${\displaystyle \omega _{k}=0}$ и повторив шаг.

Формализация

1. Задаются начальным приближением и погрешностью: ${\displaystyle {\vec {x}}_{0},\quad \varepsilon ,\quad k=0}$
2. Рассчитывают начальное направление: ${\displaystyle j=0,\quad {\vec {S}}_{k}^{j}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}),\quad {\vec {x}}_{k}^{j}={\vec {x}}_{k}}$
3. ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}^{j+1}={\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \lambda =\arg \min _{\lambda }f({\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j}),\quad {\vec {S}}_{k}^{j+1}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})+\omega {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \omega ={\frac {||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})||^{2}}{||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j})||^{2}}}}$
   • Если ${\displaystyle ||{\vec {S}}_{k}^{j+1}||<\varepsilon }$ или ${\displaystyle ||{\vec {x}}_{k}^{j+1}-{\vec {x}}_{k}^{j}||<\varepsilon }$, то ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{k}^{j+1}}$ и остановка.
   • Иначе
     • если ${\displaystyle (j+1)<n}$, то ${\displaystyle j=j+1}$ и переход к 3;
     • иначе ${\displaystyle {\vec {x}}_{k+1}={\vec {x}}_{k}^{j+1},\quad k=k+1}$ и переход к 2.

Случай квадратичной функции

Теорема. Если сопряжённые направления используются для поиска минимума квадратичной функции, то эта функция может быть минимизирована за ${\displaystyle n}$ шагов, по одному в каждом направлении, причём порядок несущественен.

Литература

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
3. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575—576.