Мера Радона

Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Определение

Пусть μ есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X.

Мера μ называется внутренне регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) совпадает с супремумом μ(K) для компактных подмножеств K в B.

Мера μ называется внешней регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) является инфимумом μ(U) по всем открытым множествам U, содержащим B.

Мера μ называется локально конечной, если каждая точка в X имеет окрестность U, для которой значение μ(U) конечно. (Если μ локально конечна, то μ конечна на компактных множествах.)

Мера μ называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна.

Замечание

• Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений.

Примеры

Примеры мер Радона:

• Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества);
• Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе;
• Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
• Гауссовы меры на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с его борелевской сигма-алгеброй;
• Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующие меры не являются мерами Радона:

• Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона.
• Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки. Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны.
• Стандартная мера произведения на ${\displaystyle (0,1)^{\kappa }}$ с несчётным ${\displaystyle \kappa }$ — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.

Свойства

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство, μ — меру Радона на ${\displaystyle X}$.

• Мера μ задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X, то есть непрерывных функций с компактным носителем:

  ${\displaystyle I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu }$

Более того:

• Этот функционал полностью определяет саму меру.
• Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что ${\displaystyle I(f)\geqslant 0}$, если ${\displaystyle f\geqslant 0}$.

Метрика Радона

Конусу всех мер Радона на ${\displaystyle X}$ можно придать структуру полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$, определяется следующим образом:

${\displaystyle \rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}-\mu _{2})(x)\right\},}$

где супремум берётся по всем непрерывным функциям ${\displaystyle f\colon X\to [-1,1]}$

Эта метрика называется метрикой Радона. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью.

Пространство Радоновых вероятностных мер на ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},}$

не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.

Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:

${\displaystyle \rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu }$

Обратное неверно в общем случае.

Интегрирование

Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов:

1. Определяется верхний интеграл μ*(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел μ(h) для финитных непрерывных функций h≤g.
2. Определяется верхний интеграл μ*(f) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций g≥f.
3. Определяется векторное пространство F = F(Х;μ) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой.
4. Определяется пространство L^1(X,μ) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций.
5. Определяется интеграл для функций из L^1(X,μ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L^1(X,μ)).
6. Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества.

Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X.

Литература

• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1.
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, vol. 2, Academic Press
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• König, Heinz (1997), Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications, New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
• Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Ссылки

• R.A Minlos (2001), "Radon measure", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4