Произведение мер

Произведение мер — мера, определяемая на декартовом произведении двух пространств с мерами; однозначно определяется для пространств с ${\displaystyle \sigma }$-конечными мерами.

Для пространств с мерой ${\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1},\mu _{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},{\mathcal {F}}_{2},\mu _{2})}$ (${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ — ${\displaystyle \sigma }$-алгебры на ${\displaystyle X_{i}}$, ${\displaystyle \mu _{i}}$ — меры на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$) декартово произведение ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R} }$ является семейством подмножеств ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$, и, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй, в связи с этим измеримое пространство на декартовом произведении ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ строится посредством тензорного произведения ${\displaystyle \sigma }$-алгебр — ${\displaystyle \sigma }$-алгебре, порождённой декартовыми произведениями множеств исходных семейств:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma {\big (}\{B_{1}\times B_{2}\mid B_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},B_{2}\in {\mathcal {F}}_{2}\}{\big )}}$.

Мера на измеримом пространстве ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})}$ определяется для ${\displaystyle (B_{1},B_{2})\in F_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})}$ как произведение исходных мер исходных множеств:

${\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})(B_{1},B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\cdot \mu _{2}(B_{2})}$.

(При перемножении бесконечной меры с нулевой результат предполагается нулевым.) Согласно теореме Каратеодори о продолжении меры таким образом определённая мера может быть распространена на всё пространство. Если же исходные меры ${\displaystyle \sigma }$-конечны, то такое произведение мер определено однозначно и для всякого измеримого множества ${\displaystyle E}$ имеет место[1]:

${\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})(E)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(E{\big |}_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1})=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(E{\big |}^{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2})}$,

где ${\displaystyle E{\big |}_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},x_{2})\in E\}}$ и ${\displaystyle E{\big |}^{x_{2}}=\{x_{1}\mid (x_{1},x_{2})\in E\}}$ — сечения ${\displaystyle E}$ вдоль зафиксированных первой и второй компонент соответственно. В этом ${\displaystyle \sigma }$-конечном случае ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ называется произведением мер ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$, а пространство с мерой ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$ называется (декартовым, прямым) произведением исходных пространств.

Конструкция произведения над пространствами с ${\displaystyle \sigma }$-конечными мерами позволяет сформулировать и естественным образом доказать теорему Тонелли — Фубини, сводящую вычисление двойных интегралов к повторным. Мера Лебега ${\displaystyle m_{n}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ может быть получена как произведение ${\displaystyle n}$ одномерных мер Лебега ${\displaystyle m_{1}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ обозначает борелевскую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на пространстве ${\displaystyle X}$, и

${\displaystyle m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}}$.

Произведение двух ${\displaystyle \sigma }$-конечных полных мер^[англ.] может не быть полной мерой[2].

При ${\displaystyle \sigma }$-бесконечности одной из исходных мер произведение, вообще говоря, неоднозначно, но построение из доказательства теоремы Каратеодори о продолжении меры даёт единственную максимальную меру, то есть такую ${\displaystyle \mu _{\max }}$, что если некоторая ${\displaystyle \mu }$, определённая как произведение мер тензорном произведении исходных ${\displaystyle \sigma }$-алгебр, конечна для измеримого множества ${\displaystyle E}$, то ${\displaystyle \mu _{\max }E=\mu E}$. Минимальное произведение мер в этом случае, то есть ${\displaystyle \mu _{\min }E=\sup \left\{\mu _{\max }F\mid (F\subseteq E)\wedge (\mu _{\max }F<\infty )\right\}}$, определено не всегда.

Произведение мер может быть распространено на бесконечный случай: произведение произвольного числа ${\displaystyle \sigma }$-конечных пространств с мерой ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i},\mu _{i})}$ однозначно определено[3].

Теория вероятностей

Построение естественным образом переносится на вероятностные пространства, являющиеся измеримыми пространствами с ${\displaystyle \sigma }$-конечными вероятностными мерами: для двух вероятностных пространств ${\displaystyle (\Omega _{1},\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mathbb {P} _{1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{1},\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mathbb {P} _{1})}$ их произведение — ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}$.

Если ${\displaystyle X,Y\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — случайные величины, то ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ и ${\displaystyle \mathbb {P} ^{Y}}$ — распределения на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно, а ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}}$ — распределение на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ случайного вектора ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top }}$. Если ${\displaystyle X,\;Y}$ — независимы, то:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}}$.

Примечания

1. Халмош, 2003, §36. Произведение мер, с. 126—127.
2. Халмош, 2003, Упражнение 2, с. 127.
3. PlanetMath, Infinite product measure.

Литература

• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. — Наука, 1967. — 220 с.
• Халмош П. Теория меры. — Факториал-пресс, 2003. — 256 с. — ISBN 5-88688-065-8.

Ссылки

• Product measure (англ.). PlanetMath.
• Infinite product measure (англ.). PlanetMath.