Теорема Каратеодори о продолжении меры

Теорема Каратеодори о продолжении меры — утверждение теории меры, согласно которому произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ может быть продолжена на ${\displaystyle \sigma }$-кольцо, порождённое кольцом ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, а в случае ${\displaystyle \sigma }$-конечности меры — такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега. Впервые установлена Морисом Фреше в 1924 году, впоследствии найдена Константином Каратеодори, с чьим именем традиционно связывается, иногда в литературе результат также упоминается как теорема Каратеодори — Хопфа, теорема Хопфа о продолжении меры, теорема Хана — Колмогорова.

Теорема для ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — кольца подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ с мерой ${\displaystyle \mu \colon \mathbb {R} \to [0,+\infty ]}$ и ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ — ${\displaystyle \sigma }$-кольца, порождённого ${\displaystyle \mathbb {R} }$ утверждает, что существует мера ${\displaystyle \mu '\colon \sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]}$ такая, что ${\displaystyle \mu '|_{\mathbb {R} }=\mu }$, единственное и ${\displaystyle \sigma }$-конечное в случае ${\displaystyle \sigma }$-конечности ${\displaystyle \mu }$.

Более того, продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств ${\displaystyle S}$, удовлетворяющих следующим условиям:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ пересечение ${\displaystyle A\cap B\in S}$;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ существуют такие попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle K_{i}\in S}$, где ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$, что ${\displaystyle A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i}}}$.

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо ${\displaystyle S}$ порождает кольцо ${\displaystyle R(S)}$, элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle R(S)={\Big \{}\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}}\mid A_{i}\in S{\Big \}}}$,

а мера ${\displaystyle \mu }$, заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i})}}$, где ${\displaystyle A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}}}$, ${\displaystyle A_{i}\in S}$.

Построение продолжения

Если ${\displaystyle \mu }$ — мера, определённая на кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$, то на подмножествах ${\displaystyle A\subset \Omega }$ можно определить функцию:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}}$.

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой ${\displaystyle \mu }$. Если ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ — семейство подмножеств ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle \Omega }$, таких что для всех ${\displaystyle E\subset \Omega }$ выполняется ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$, то ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является ${\displaystyle \sigma }$-кольцом, и на нём можно определить меру ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$. Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с ${\displaystyle \mu }$ на множествах кольца ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Также ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ содержит ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и сужение ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ на элементы ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и будет необходимым расширением меры.

${\displaystyle \sigma }$-кольцо ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является пополнением кольца ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$, соответственно, они совпадают, если определённая мера на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ является полной.

Примеры

Если на действительной прямой взять полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ интервалов ${\displaystyle [a,b]}$, где ${\displaystyle a<b}$ и мера ${\displaystyle [a,b]}$ равна ${\displaystyle b-a}$, то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$. Множеству ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.

Условие ${\displaystyle \sigma }$-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве ${\displaystyle X}$ всех рациональных чисел промежутка ${\displaystyle [0,1]}$ можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами ${\displaystyle [a,b)}$, где ${\displaystyle a<b}$ — рациональные числа из промежутка ${\displaystyle [0,1]}$. ${\displaystyle \sigma }$-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств ${\displaystyle X}$. Пусть теперь ${\displaystyle \mu (A)}$ равно количеству элементов ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle \mu '(A)=2\mu (A)}$. Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны ${\displaystyle \infty }$), но не совпадают на порождённом ${\displaystyle \sigma }$-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

• Халмош П. Теория меры. — Факториал-пресс, 2003. — 256 с.
• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. — Наука, 1967. — 220 с.
• Дороговцев А. Я.  Элементы общей теории меры и интеграла. — Киев: Выща школа, 1989.