Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс ${\displaystyle W_{t}}$, где ${\displaystyle t\geq 0}$ называется винеровским процессом, если

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ почти достоверно.
2. ${\displaystyle W_{t}}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))}$, ${\displaystyle \forall 0\leq s<t<\infty }$,

где ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))}$ — нормальное распределение со средним ${\displaystyle 0}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}(t-s)}$. Величину ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, постоянную для процесса, далее будем считать равной ${\displaystyle 1}$.

Эквивалентное определение:

1. ${\displaystyle W_{t}}$ — гауссовский процесс.
2. ${\displaystyle \mathbb {E} W_{t}=0}$, ${\displaystyle \forall t\geqslant 0}$.
3. ${\displaystyle {\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)}$, ${\displaystyle \forall t,s\geqslant 0}$.

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• ${\displaystyle W_{t}}$ — гауссовский процесс.
• ${\displaystyle W_{t}}$ — марковский процесс.
• ${\displaystyle W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)}$. Соответственно ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}]=0}$ и ${\displaystyle \mathrm {D} [W_{t}]=t}$.
• ${\displaystyle \mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)}$.
• ${\displaystyle W_{t}}$ и ${\displaystyle \exp(W(t)-t/2)}$ — мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau }}$
• Если ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс, то ${\displaystyle tW_{1/t},t>0}$ и ${\displaystyle 0,t=0}$, также будет винеровским.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$ при уменьшении c.

• Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс, и ${\displaystyle c>0}$, то

${\displaystyle V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}}$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
• Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.

${\displaystyle \limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1}$ почти наверное.

• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)}$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный (${\displaystyle n}$-мерный) винеровский процесс ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ — это ${\displaystyle \mathrm {R} ^{n}}$-значный случайный процесс, составленный из ${\displaystyle n}$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

${\displaystyle \mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0}$,

где процессы ${\displaystyle \left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n}$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Сосиска Винера
• Норберт Винер
• Формула Фейнмана — Каца
• Цвета шума