Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle D}$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle \Gamma =\partial D}$, функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle {\overline {D}}}$, и ${\displaystyle z_{0}}$ — точка внутри области ${\displaystyle D}$. Тогда справедлива следующая формула Коши:

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.}$

Формула справедлива также, если предполагать, что ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна внутри ${\displaystyle D}$ и непрерывна на замыкании, а также если граница ${\displaystyle D}$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность ${\displaystyle S_{\rho }}$ достаточно малого радиуса ${\displaystyle \rho }$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$.

В области, ограниченной контурами ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle S_{\rho }}$ (то есть состоящей из точек области ${\displaystyle D}$ за исключением точек внутри ${\displaystyle S_{\rho }}$), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ${\displaystyle \rho }$ имеем равенство

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.}$

Для расчёта интегралов по ${\displaystyle S_{\rho }}$ применим параметризацию ${\displaystyle z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]}$.

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая ${\displaystyle f(z)=1}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =1.}$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz.}$

Так как функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексно дифференцируема в точке ${\displaystyle z_{0}}$, то

${\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).}$

Интеграл от ${\displaystyle f'(z_{0})}$ равен нулю:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.}$

Интеграл от члена ${\displaystyle o(1)}$ может быть сделан сколь угодно малым при ${\displaystyle \rho \to 0}$. Но поскольку он от ${\displaystyle \rho }$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz=0.}$

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки ${\displaystyle z_{0}}$ из области, где функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$, в котором функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz}$.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов ${\displaystyle c_{n}}$ функций, голоморфных в круге ${\displaystyle {|z-z_{0}|<r}}$:

${\displaystyle c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)}$,

где ${\displaystyle M(r)}$ — максимум модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ на окружности ${\displaystyle {|z-z_{0}|=r}}$, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

${\displaystyle c_{n}={{f^{(n)}(z_{0})} \over n!}}$

получается интегральное представление производных функции ${\displaystyle f(z)}$:

${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.}$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области ${\displaystyle D}$, если это семейство равномерно ограничено в ${\displaystyle D}$. В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области ${\displaystyle D}$, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в ${\displaystyle D}$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ вида ${\displaystyle \{r<|z-z_{0}|<R\}}$, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},}$

причём коэффициенты ${\displaystyle c_{n}}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz,}$

а сам ряд Лорана сходится в ${\displaystyle D}$ к функции ${\displaystyle f(z)}$ равномерно на каждом компакте из ${\displaystyle D}$.

Формула для коэффициента ${\displaystyle c_{-1}}$ часто применяется для вычисления интегралов от функции ${\displaystyle f(z)}$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в круге ${\displaystyle \{|z-z_{0}|<R\}}$, тогда для каждого ${\displaystyle r\,(0<r<R)}$

${\displaystyle f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\,d\varphi ,}$

а также если ${\displaystyle B_{r}}$ — круг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в ${\displaystyle z_{0}}$, тогда

${\displaystyle f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.}$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ и внутри ${\displaystyle D}$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ и внутри ${\displaystyle D}$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в круге ${\displaystyle {|z|<1}}$, ${\displaystyle f(0)=0}$ и для всех точек ${\displaystyle z}$ из этого круга ${\displaystyle |f(z)|\leqslant 1}$, тогда всюду в этом круге ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}$;
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке ${\displaystyle z_{0}}$, совпадают в некоторой окрестности этой точки;
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции ${\displaystyle f(z)}$, голоморфной в области ${\displaystyle D}$ имеют предельную точку внутри ${\displaystyle D}$, тогда функция ${\displaystyle f(z)}$ равна нулю всюду в ${\displaystyle D}$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.