Интегральная теорема Коши

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Теорема

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ — область, а функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ и непрерывна в замыкании ${\displaystyle {\overline {D}}}$. Тогда для некоторой односвязной области ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} ,}$ и для любой замкнутой жордановой кривой ${\displaystyle \Gamma \subset A}$ справедливо соотношение ${\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0}$

Доказательство

Приведем доказательство, когда область ${\displaystyle D}$ односвязна, а производная ${\displaystyle f}$ непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма ${\displaystyle f(z)\,dz}$ замкнута. Пусть теперь ${\displaystyle \Gamma }$ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции ${\displaystyle f(z)}$, ограничивающий область ${\displaystyle D}$. Тогда по теореме Стокса имеем:

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=\int \limits _{\partial D}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f(z)\,dz]=0}$

Обобщение

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы ${\displaystyle f(z)dz}$. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу ${\displaystyle a}$, то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка ${\displaystyle p}$, в достаточно малой окрестности которой ${\displaystyle f(z)=f(p)+f'(p)(z-p)+o(z-p)}$.

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.