Условия Коши — Римана

Функция f является моногенной, только если df(zX) = z df(X), где z — любое комплексное число.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную ${\displaystyle u=u(x,y)}$ и мнимую ${\displaystyle v=v(x,y)}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного ${\displaystyle w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy}$.

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция ${\displaystyle w=f(z)}$, определённая в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ как функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ были дифференцируемы в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ как функции вещественных переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Компактная запись:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная ${\displaystyle f'(z)}$ представима в любой из следующих форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}}$

Доказательство

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},}$

не зависящий от способа стремления ${\displaystyle \Delta z}$ к нулю.

• Вещественное приращение. Положим ${\displaystyle \Delta z=\Delta x}$ и рассмотрим выражение

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.}$

Существование комплексного предела ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$ равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.}$ Поэтому в точке z₀ существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.}$

• Чисто мнимое приращение. Полагая ${\displaystyle \Delta z=i\Delta y}$, находим

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}.}$

Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.

2. Достаточность

Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.

Приращение функции

Следуя определению дифференцируемости, приращение функции ${\displaystyle f(z)}$ в окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ может быть записано в виде

${\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}\Delta y+\xi (x,y),}$

где комплекснозначная функция ${\displaystyle \xi (x,y)}$ служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при ${\displaystyle (x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}$ быстрее, чем ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta y,}$ то есть

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z}}=0.}$

Составим теперь разностное соотношение ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$ и преобразуем его к виду

${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}.}$

Условие дифференцируемости

Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:

${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}.}$

Заметим, что при стремлении ${\displaystyle \Delta z}$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел ${\displaystyle {\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0}}}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\to 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})}$ одинаков в любом направлении приращения ${\displaystyle \Delta z,}$ а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.

В полярных координатах

В полярной системе координат ${\displaystyle (r,\varphi )}$ условия Коши — Римана выглядят так:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}$

Компактная запись:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.}$

Вывод полярной записи

Представим исходную функцию в виде

${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$

Выражение декартовых координат через полярные

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.}$

Распишем производную функции ${\displaystyle u(x,y)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}$

аналогично, вычисляем производные функции ${\displaystyle v(x,y)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r}}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}};\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}$

Перегруппируем и домножим

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}};\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\-r{\frac {\partial v}{\partial r}}=-r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}$

Используя Условия Коши — Римана в декартовых координатах,
получаем равенство соответствующих выражений, что приводит к результату

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

${\displaystyle f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.}$

Тогда условия Коши — Римана связывают модуль ${\displaystyle R}$ и аргумент ${\displaystyle \Phi }$ функции следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y}};\quad {\frac {\partial R}{\partial y}}=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}.}$

А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:

${\displaystyle f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},}$

то запись приобретает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial r}}={\frac {R}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }};\quad R{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi }}.}$

Геометрический смысл условий Коши — Римана

Пусть функция ${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$ где ${\displaystyle z=x+iy,}$ дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости ${\displaystyle (x,y)}$ два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: ${\displaystyle u(x,y)=const.}$

Второе семейство: ${\displaystyle v(x,y)=const.}$

Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши — Римана

Если рассматривать множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то значение производной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в себя (${\displaystyle \mathbb {R} }$-линейность). Если же рассматривать ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как одномерное векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в себя (${\displaystyle \mathbb {C} }$-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число ${\displaystyle f'(z)}$. Очевидно, всякое ${\displaystyle \mathbb {C} }$-линейное отображение ${\displaystyle \mathbb {R} }$-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ изоморфно полю вещественных матриц вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$ с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle z}$ (точнее, отображения ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )}}$ в точке ${\displaystyle (x,y)}$), являются условиями ${\displaystyle \mathbb {C} }$-линейности ${\displaystyle f'(z)}$, т.е. ${\displaystyle {\tilde {f}}'(x,y)}$.

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
• Титчмарш Э. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.