Чисто мнимое число

... (выделенный фрагмент повторяется бесконечно)

i^−3 = i

i^−2 = −1

i^−1 = −i

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = −1

i^3 = −i

i^4 = 1

i^5 = i

i^6 = −1

i^n = i^m где m ≡ n mod 4

Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью[1]. Термин «мнимое число» предложил в XVII веке французский математик Рене Декарт[2], изначально этот термин носил уничижительный смысл, поскольку такие числа считались вымышленными или бесполезными, и лишь после работ Леонарда Эйлера и Карла Гаусса это понятие получило признание в научном сообществе.

Определения

Пусть ${\displaystyle z=x+iy}$ — комплексное число, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные числа. Числа ${\displaystyle x=\Re (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Re} ~z}$ и ${\displaystyle y=\Im (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Im} ~z}$ называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями ${\displaystyle z}$.

• Если ${\displaystyle x=0}$, то ${\displaystyle z}$ называется чисто мнимым числом.
• Если ${\displaystyle y=0}$, то ${\displaystyle z}$ является действительным числом.

История

Размещение мнимых чисел на комплексной плоскости. Мнимые числа расположены на вертикальной оси.

Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский[3][4], но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818)[7].

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел^[англ.], у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла^[англ.] 1848 года[8].

Геометрическая интерпретация

Поворот на 90 градусов на комплексной плоскости

На плоскости комплексных чисел мнимые числа находятся на вертикальной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Один из способов геометрической интерпретации мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую ось, где положительные числа находятся справа, а отрицательные — слева. Через точку 0 на оси x может быть проведена ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается iℝ,${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} }$, или ℑ.

В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i^2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x^2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента^[англ.] комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни из отрицательных чисел

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, являющимися главными значениями^[англ.] квадратных корней отрицательных чисел. Например, такой математический софизм: [9]

${\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}$

Иногда это записывается так:

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (софизм) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$

Подобный математический софизм возникает в случае, когда в равенстве ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ переменные не имеют соответствующих ограничений. В этом случае равенство не выполняется, так как оба числа отрицательны. Это можно показать как

${\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}$

где и x и y — неотрицательные действительные числа.

См. также

• Вещественное число
• Мнимая единица
• Формула Муавра

Примечания

1. Комплексное число // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1982. — Т. 3. — С. 708. — 1183 с. — (51[03] М34).
2. Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (англ.). — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2004. — P. 121. — ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
3. Hargittai, István. Fivefold symmetry (неопр.). — 2nd. — World Scientific, 1992. — С. 153. — ISBN 981-02-0600-3.
4. Roy, Stephen Campbell. Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications (англ.). — Horwood, 2007. — P. 1. — ISBN 1-904275-25-7.
5. René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), цитируемая книга: Геометрия, книга 3, p. 380. From page 380: Архивная копия от 8 августа 2018 на Wayback Machine «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine, comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, x^3 — 6xx + 13x — 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.» («Более того, как истинные корни, так и ложные [корни] не всегда реальны; но иногда имеются только мнимые [числа]; то есть, в каждом уравнении всегда можно представить их столько, сколько я сказал; но иногда нет такой величины, которая соответствует тому, что можно себе представить, точно так же, как в этом [уравнении], x^3 — 6xx + 13x — 10 = 0, где только один корень реальный и равен 2, а в отношении двух других, хотя одно увеличивает, или уменьшает, или умножает их так, как я только что объяснил, никто не сможет сделать их отличными от мнимых [величин].»)
6. Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8.
7. Rozenfeld, Boris Abramovich. Chapter 10 // A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space (англ.). — Springer, 1988. — P. 382. — ISBN 0-387-96458-4.
8. Cockle, James (1848) «On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra», London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435-9 and Cockle (1849) «On a New Imaginary in Algebra», Philosophical Magazine 34:37-47
9. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one] (англ.). — Princeton University Press, 2010. — P. 12. — ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 2. — 810 с.
• Nahin, Paul. An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1 (англ.). — Princeton: Princeton University Press, 1998. — ISBN 0-691-02795-1.

Ссылки

• How can one show that imaginary numbers really do exist? (англ.)
• In our time: Imaginary numbers (англ.)
• 5Numbers programme 4 (англ.)
• Why Use Imaginary Numbers? (англ.)