Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть ${\displaystyle \{f_{\alpha }(z)\}}$ ― бесконечное семейство голоморфных функций в области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle z}$; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности ${\displaystyle f_{\alpha _{i}}}$ можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся локально внутри ${\displaystyle D}$, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено локально внутри ${\displaystyle D}$.

Теорема Монтеля обобщается на области ${\displaystyle D}$ в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n>1}$.

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Следствия

• Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область ${\displaystyle D}$ компактно лежит в области ${\displaystyle G}$, тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
• Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).