Александровская геометрия

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

История

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера[1]. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов[2].

Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым[3][4]. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном[5].

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

• Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
• Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.
  • Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом[6].

Основные определения

Треугольник сравнения для тройки точек ${\displaystyle xyz}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ это треугольник ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ на евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ с теми же длинами сторон; то есть

${\displaystyle {\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}}$

Угол при вершине ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ в треугольнике сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ называется углом сравнения тройки ${\displaystyle xyz}$ и обозначается ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})}$.

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства ${\displaystyle X}$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство. Для произвольных 4 точек ${\displaystyle x,y,p,q\in X}$ рассмотрим пару треугольников сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ и ${\displaystyle [{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$, тогда для произвольной точки ${\displaystyle {\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ выполняется неравенство

${\displaystyle |x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.}$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$-неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$-неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство. Для произвольных 4 точек ${\displaystyle p,x,y,z\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .}$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CBB} (0)}$-неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ — модельную плоскость кривизны ${\displaystyle k}$. То есть

• ${\displaystyle \mathbb {M} (0)}$ есть евклидова плоскость,
• ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ при ${\displaystyle k>0}$ есть сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$,
• ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ при ${\displaystyle k<0}$ есть плоскость Лобачевского кривизны ${\displaystyle k}$.

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной ${\displaystyle \leqslant k}$ и ${\displaystyle \geqslant k}$ в смысле Александрова. В случае ${\displaystyle k>0}$, треугольник сравнения тройки ${\displaystyle (xyz)}$ считается определённым, если

${\displaystyle |x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}}$.

Основные теоремы

• Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения
• Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.
• Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.
• Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.
• Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.

Примечания

1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
2. В. Н. Берестовский. Пространства с ограниченной кривизной и дистанционная геометрия (рус.) // Сиб. матем. журн.. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 11—25.
3. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
4. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения (рус.) // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
5. Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
6. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами (рус.) // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Лекция 5, Геометрия Александрова
• Сергей Иванов. Метрическая геометрия и пространства Александрова  (неопр.). Лекториум (10.02.11).
• Сергей Иванов. Геометрия пространств Александрова  (неопр.). Лекториум (04.07.17).
• Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces". arXiv:1701.03483 [math.DG].
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Alexandrov geometry: foundations". arXiv:1903.08539 [math.DG].