Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  ${\displaystyle Cl(E,Q(,))}$ над некоторым коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle E}$ — векторное пространство или, более общо, свободный ${\displaystyle K}$-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на ${\displaystyle E}$ билинейной формой ${\displaystyle Q}$.

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle K}$  — коммутативное кольцо с единицей,  ${\displaystyle E}$ — свободный K-модуль, ${\displaystyle Q}$ — квадратичная форма на  ${\displaystyle E}$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ (или пары ${\displaystyle (E,Q)}$) называется факторалгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ тензорной алгебры ${\displaystyle T(E)}$, ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

${\displaystyle x\otimes x-Q(x)1,~~x\in E}$

Элементы (векторы) из ${\displaystyle E}$, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы ${\displaystyle Cl(Q)}$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

${\displaystyle E\hookrightarrow Cl(Q)}$.

Комментарий

Если ${\displaystyle K}$ есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда ${\displaystyle E}$ — линейное пространство, а в качестве ${\displaystyle Q(,)}$ используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Свойства

• Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых ${\displaystyle x,y\in E}$:

  ${\displaystyle xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle }$

где ${\displaystyle \left\langle ,\right\rangle }$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :={\tfrac {1}{2}}\left(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\right)}$.

• выражение ${\displaystyle [x,y]:=xy+yx}$ называется антикоммутатором ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

• Для нулевой квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ алгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ совпадает со внешней алгеброй ${\displaystyle \Lambda (E)}$ ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$.
• Пусть ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — некоторый базис ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$, тогда элементы вида

  ${\displaystyle 1,e_{j_{1}}e_{j_{2}}\dots e_{j_{k}}\ (j_{1}<\dots <j_{k},}$ для всех k от 1 по n) или, иначе: ${\displaystyle e_{1}^{\sigma _{1}}e_{2}^{\sigma _{2}}\dots e_{n}^{\sigma _{n}}}$ где ${\displaystyle \sigma _{j}=0,1}$ образуют базис ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle Cl(Q)}$. В частности, ${\displaystyle Cl(Q)}$ является свободным ${\displaystyle K}$-модулем ранга (размерности) ${\displaystyle 2^{n}}$

  • Если, кроме того, ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ ортогональны относительно ${\displaystyle Q}$, то ${\displaystyle Cl(Q)}$ можно задать как ${\displaystyle K}$-алгебру с образующими ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ и определяющими соотношениями ${\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0}$, (${\displaystyle i\not =j}$) и ${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i},e_{i})}$.
• Алгебра Клиффорда обладает Z₂-градуировкой. В частности, подмодуль в ${\displaystyle Cl(Q)}$, порождённый произведениями чётного числа элементов из ${\displaystyle E}$, образует подалгебру в ${\displaystyle Cl(Q)}$, которая обозначается через ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$.
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и квадратичная форма ${\displaystyle Q(,)}$ невырождена
  • тогда при чётном n алгебра ${\displaystyle Cl(Q)}$ является центральной простой алгеброй над ${\displaystyle K}$ размерности ${\displaystyle 2^{n}}$, подалгебра ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над ${\displaystyle K}$.
• Если ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто, то
  • при чётном n ${\displaystyle Cl(Q)}$ — матричная алгебра, a ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр,
  • при нечётном n, наоборот, ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — матричная, а ${\displaystyle Cl(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр Клиффорда

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений ${\displaystyle Cl_{3,1}(\mathbb {R} )}$, которые впервые изучены Этторе Майораной.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 (см. Архивная копия от 4 апреля 2016 на Wayback Machine)
• Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
• R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine»