Мономорфизм

Мономорфи́зм ― морфизм ${\displaystyle m:A\to B}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, такой что из всякого равенства ${\displaystyle m\circ f=m\circ h}$ следует, что ${\displaystyle f=h}$ (другими словами, на ${\displaystyle m}$ можно сокращать слева). Часто мономорфизм из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ обозначают ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостью

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если ${\displaystyle l}$ — левый обратный к ${\displaystyle f}$ (то есть ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$), то:

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}}$.

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$, если ${\displaystyle H}$ является подгруппой ${\displaystyle G}$, то вложение ${\displaystyle f:H\to G}$ — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм ${\displaystyle f:H\to G}$ существует, только если у ${\displaystyle H}$ есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение ${\displaystyle f_{*}:\mathrm {Hom} (Z,X)\to \mathrm {Hom} (Z,Y)}$, определённое как ${\displaystyle f_{*}h=f\circ h}$ для морфизмов ${\displaystyle h:Z\to X}$, инъективно для всех Z.

Связь с инъективностью

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта^[англ.], порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории ${\displaystyle \mathbf {Div} }$ делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации ${\displaystyle q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Типы мономорфизмов

Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.

Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде ${\displaystyle g\circ e}$ с эпиморфизмом ${\displaystyle e}$, то ${\displaystyle e}$ — изоморфизм.

Терминология

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.