Абелев дифференциал

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности ${\displaystyle S}$.

Пусть ${\displaystyle g}$ — род поверхности ${\displaystyle S;a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots a_{g}b_{g}}$ — циклы канонического базиса гомологий ${\displaystyle S}$. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: ${\displaystyle {\mbox{I}}\subset {\mbox{II}}\subset {\mbox{III}}}$.

Абелев дифференциал I рода

Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на ${\displaystyle S}$ дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности ${\displaystyle U}$ каждой точки ${\displaystyle P_{0}\in S}$ имеют вид ${\displaystyle \omega =p\,dz=p(z)\,dz}$, где ${\displaystyle z=x+iy}$ — локальная униформизирующая переменная в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$, а ${\displaystyle p(z)}$ — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle U}$. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

${\displaystyle \omega =p\,dz,\ \pi =q\,dz,\ a=a(z),}$

то

${\displaystyle \omega +\pi =(p+q)\,dz,\ a\omega =(ap)\,dz.}$

Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ размерности ${\displaystyle g}$. После введения скалярного произведения

${\displaystyle (\omega ,\pi )=\iint _{S}\omega *{\overline {\pi }},}$,

где ${\displaystyle \omega *{\overline {\pi }}}$ — внешнее произведение ${\displaystyle \omega }$ на звёздно-сопряжённый дифференциал ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$, пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ превращается в гильбертово пространство.

Пусть ${\displaystyle A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'}$ суть ${\displaystyle A}$- и ${\displaystyle B}$-периоды абелева дифференциала I рода ${\displaystyle \omega }$, то есть интегралы

${\displaystyle A_{j}=\int _{a_{j}}\omega ,\ B_{j}=\int _{b_{j}}\omega ,\ j=1,2,\ldots ,g.}$

Тогда имеет место соотношение

${\displaystyle \|\omega \|^{2}=i\sum _{j=1}^{g}{\big (}A_{j}{\overline {B}}_{j}-B_{j}{\overline {A}}_{j}{\big )}\geqslant 0.}$

(1)

Если ${\displaystyle A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'}$ — периоды другого абелева дифференциала Iрода ${\displaystyle \pi }$, то

${\displaystyle i(\omega ,{\overline {\pi }})=\sum _{j=1}^{g}(A_{j}B_{j}'-B_{j}A_{j}')=0.}$

(2)

Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{g}}$ пространства ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, выбирается таким образом, что

${\displaystyle A_{ij}=\int _{a_{i}}\varphi _{i}=\delta _{ij},}$

где ${\displaystyle \delta _{ii}=1}$ и ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ при ${\displaystyle j\neq i}$. При этом матрица ${\displaystyle B}$-периодов

${\displaystyle B_{ij}=\int _{b_{j}}\varphi _{ij},\ i,j=1,2\ldots ,g}$

симметрическая, а матрица мнимых частей ${\displaystyle (\operatorname {Im} B_{ij})}$ положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все ${\displaystyle A}$-периоды или все ${\displaystyle B}$-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода ${\displaystyle \omega }$ действенны, то ${\displaystyle \omega =0}$.

Литература

• Неванлинна, Р. Униформизация / пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
• Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
• Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.