Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

${\displaystyle \square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle c}$ — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}$

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства — как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «${\displaystyle n}$-мерный»).

В случае вектора оператор Даламбера приобретает вид:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}}$[1], где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ - вектор, ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )}$

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно увидеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

в цилиндрических координатах:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

${\displaystyle \square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),}$

где ${\displaystyle g}$ — определитель матрицы ${\displaystyle \|g_{\mu \nu }\|}$, составленной из коэффициентов метрического тензора ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$.

Примечания

1. Волновое уравнение // Савельев И. В. Курс общей физики. Том II. — С. 398.

Литература

• Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. — М.: Издательство МПИ, 1984.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Том II.