Полная производная функции

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции ${\displaystyle f=f(t,x(t),y(t))}$ по времени t, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}$ (в отличие от частной производной, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}}$) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Оператор \ Функция	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Дифференциал	1: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$	2: ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$ 3: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}$
Частная производная	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}$	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}$
Полная производная	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}$

Пример № 1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}$

что упрощается до

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}}$ — частные производные.

Следует отметить, что обозначение ${\displaystyle {\frac {df}{dt}}}$ является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$:

${\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over \ dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}$

Здесь нет ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}}$ так как ${\displaystyle f}$ сама по себе («явно») не зависит от ${\displaystyle t}$.

Приложения

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. также

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению