Hipercub

Reprezentări în perspectivă

3-cub (cub)	4-cub (tesseract)

În geometrie, un hipercub este corespondentul într-un spațiu n-dimensional al pătratului din spațiul bidimensional (n = 2), respectiv al cubului din spațiul tridimensional (n = 3). Sunt politopuri regulate, închise, compacte, convexe, al căror schelet este format din segmente de aceeași lungime, paralele, opuse, aliniate cu direcțiile dimensiunilor, și perpendiculare unele pe altele. Lungimea celor mai lungi diagonale ale unui hipercub în n dimensiuni este ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Un hipercub n-dimensional este numit adesea n-cub sau, uneori, cub n-dimensional. Termenul politop de măsură (engleză measure polytope) (folosit inițial de Elte în 1912)[1] este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter, care notează hipercuburile cu γ_n.[2]

Hipercubul este un caz particular al hiperdreptunghiului^⁠(d) (care este numit și „n-ortotop”).

Hipercubul unitar este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2^n vârfuri din R^n cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.

Construcția

Schema generării unui 4-cub dintr-un punct

Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct

Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație

Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:

0 – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni.

1 – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune.

2 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni.

3 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni.

4 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un 4-cub, care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și tesseract).

Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o sumă Minkowski^⁠(d): hipercubul d-dimensional este suma Minkowski a d segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de zonotop.

1-scheletul hipercubului este graf hipercubic^⁠(d).

Coordonate

Hipercubul unitar în n dimensiuni este anvelopa convexă a punctelor date de toate permutările semnelor coordonatelor carteziene ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$. El are laturile de lungime 1 și un volum n-dimensional de 1.

Un hipercub n-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$. Această formă este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său n-dimensional este 2^n.

Elemente

Orice n-cub pentru n > 0 este format din elemente, sau n-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (n−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (n−1)-dimensionale. Un hipercub n-dimensional are 2n elemente care-l mărginesc: o dreaptă unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are 6 fețe bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 celule tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este ${\displaystyle 2^{n}}$ (de exemplu cubul are ${\displaystyle 2^{3}}$ vârfuri (colțuri)).

Numărul de hipercuburi m-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui n-cub este

${\displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}}$,[3]     unde ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$       unde n! este factorial de n.

De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (n = 4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).

Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre ${\displaystyle 2^{n}}$ vârfuri definește un capăt pe frontierele m-dimensionale. Există ${\displaystyle {n \choose m}}$ moduri în care se pot alege liniile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de ${\displaystyle 2^{m}}$ ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.

Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului n-dimensional. Această suprafață este: ${\displaystyle 2ns^{n-1}}$.

Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$,       cu ${\displaystyle E_{0,0}=1\!}$   și elementele încă nedefinite (unde ${\displaystyle n<m}$, ${\displaystyle n<0}$, sau ${\displaystyle m<0}$ ) ${\displaystyle =0}$.

De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total ${\displaystyle E_{1,3}\!}$ = 12 segmente (muchiile cubului).

Elementele hipercuburilor ${\displaystyle E_{m,n}\!}$ (secvența OEIS A038207)[4])

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-cub	Denumiri alternative	Simbol Schläfli Coxeter	Vârf 0-fețe	Latură 1-fețe	Fețe 2-fețe	Celulă 3-fețe	4-fețe	5-fețe	6-fețe	7-fețe	8-fețe	9-fețe	10-fețe
0	0-cub	Punct Monon	( )	1
1	1-cub	Segment Dion[5]	{}	2	1
2	2-cub	Pătrat Tetragon	{4}	4	4	1
3	3-cub	Cub Hexaedru	{4,3}	8	12	6	1
4	4-cub	Tesseract 8-celule	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-cub	Pentaract Deca-5-top	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-cub	Hexaract Dodeca-6-top	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-cub	Heptaract Tetradeca-7-top	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-cub	Octaract Hexadeca-8-top	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-cub	Enearact Octodeca-9-top	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-cub	Decaract Icosa-10-top	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafuri

Un n-cub poate fi proiectat într-un poligon regulat cu 2n laturi (Poligon Petrie). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.

Proiecția ortogonală a poligoanelor Petrie

Segment	Pătrat	Cub	4-cub	5-cub
6-cub	7-cub	8-cub	9-cub	10-cub
11-cub	12-cub	13-cub	14-cub	15-cub

Familii conexe de politopuri

Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de politopuri regulate care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.

Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu γ_n. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, ortoplecșii, notați cu β_n, și simplexurile, notate cu α_n. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δ_n.

O altă familie înrudită de politopuri uniforme semiregulate sunt semihipercuburile^⁠(d), care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu hγ_n.

n-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:

• în două dimensiuni se obține octagrama stelată, simbol Schläfli {8/2},
• în trei dimensiuni se obține compusul de cub și octaedru,
• în patru dimensiuni se obține compusul de tesseract și 16-celule.

Relația cu (n−1)-simplexurile

Graful laturilor unui n-hipercub este izomorf cu diagrama Hasse^⁠(d) a laticei fețelor (n−1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat orientând diagrama n-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (n−1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față n−2) a (n−1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri marchează o față n−3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.

Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (n−1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.

Hipercuburi generalizate

Politopurile complexe^⁠(d) regulate pot fi definite în spațiul complex Hilbert drept hipercuburi generalizate, γp
n = _p{4}₂{3}...₂{3}₂, sau ... Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu γ2
n = γ_n = ₂{4}₂{3} ...  ₂{3}₂ = {4, 3, … , 3}. Pentru p > 2, ele există în ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Fețele sunt (n−1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.

Perimetrele poligoanelor regulate din proiecțiile ortogonale ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (n = 2) sunt trasate cu p-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar n-cuburile sunt trasate cu linii negre.

Numărul elementelor de tip m-față ale n-cubului p-generalizat este: ${\displaystyle p^{n-m}{n \choose m}}$. Există p^n vârfuri și pn fețe.[6]

Hipercuburi generalizate

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	γ2 2 = {4} = 4 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	γ3 2 = 9 vârfuri	γ4 2 = 16 vârfuri	γ5 2 = 25 vârfuri	γ6 2 = 36 vârfuri	γ7 2 = 49 vârfuri	γ8 2 = 64 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	γ2 3 = {4,3} = 8 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	γ3 3 = 27 vârfuri	γ4 3 = 64 vârfuri	γ5 3 = 125 vârfuri	γ6 3 = 216 vârfuri	γ7 3 = 343 vârfuri	γ8 3 = 512 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	γ2 4 = {4,3,3} = 16 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	γ3 4 = 81 vârfuri	γ4 4 = 256 vârfuri	γ5 4 = 625 vârfuri	γ6 4 = 1296 vârfuri	γ7 4 = 2401 vârfuri	γ8 4 = 4096 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	γ2 5 = {4,3,3,3} = 32 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	γ3 5 = 243 vârfuri	γ4 5 = 1024 vârfuri	γ5 5 = 3125 vârfuri	γ6 5 = 7776 vârfuri	γ7 5 = 16,807 vârfuri	γ8 5 = 32,768 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	γ2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	γ3 6 = 729 vârfuri	γ4 6 = 4096 vârfuri	γ5 6 = 15,625 vârfuri	γ6 6 = 46,656 vârfuri	γ7 6 = 117,649 vârfuri	γ8 6 = 262,144 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$	γ2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$	γ3 7 = 2187 vârfuri	γ4 7 = 16,384 vârfuri	γ5 7 = 78,125 vârfuri	γ6 7 = 279,936 vârfuri	γ7 7 = 823,543 vârfuri	γ8 7 = 2,097,152 vârfuri
${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$	γ2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vârfuri	${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$	γ3 8 = 6561 vârfuri	γ4 8 = 65,536 vârfuri	γ5 8 = 390,625 vârfuri	γ6 8 = 1,679,616 vârfuri	γ7 8 = 5,764,801 vârfuri	γ8 8 = 16,777,216 vârfuri

Note

1. en Elte, E. L. (1912). „IV, Five dimensional semiregular polytope”. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: University of Groningen. ISBN 141817968X. 
2. Coxeter, Regular…, pp. 122–123 (Fig 7.2)
3. Coxeter 1973, p. 122, §7·25.
4. Șirul A038207 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
5. en Johnson, Norman W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p. 224
6. en Coxeter, H. S. M. (1974), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328 .

Bibliografie

• en Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (ed. 3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)

Lectură suplimentară

• en Bowen, J. P. (aprilie 1982). „Hypercube”. Practical Computing. 5 (4): 97–99. Arhivat din original la 30 iunie 2008. Accesat în 30 iunie 2008. 
• en Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9. 

Legături externe

• Materiale media legate de hipercub la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Hypercube la MathWorld. (română Hipercub)
• en Eric W. Weisstein, Hypercube graphs la MathWorld. (română Grafuri ale hipercuburilor)
• en www.4d-screen.de (Rotation of 4D – 7D-Cube) (română 4-cub – 7-cub în rotație)
• en Rotating a Hypercube (română Rotind hipercubul) de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
• en Stereoscopic Animated Hypercube (română Hipercub animat, steroscopic)
• en Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads

v • d • m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie	An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Poligoane regulate	Triunghi	Pătrat	p-gon	Hexagon	Pentagon
Poliedre uniforme	Tetraedru	Octaedru • Cub	Semicub		Dodecaedru • Icosaedru
4-politopuri uniforme	5-celule	16-celule • Tesseract	Semitesseract	24-celule	120-celule • 600-celule
5-politopuri uniforme	5-simplex	5-ortoplex • 5-cub	5-semicub
6-politopuri uniforme	6-simplex	6-ortoplex • 6-cub	6-semicub	122 • 221
7-politopuri uniforme	7-simplex	7-ortoplex • 7-cub	7-semicub	132 • 231 • 321
8-politopuri uniforme	8-simplex	8-ortoplex • 8-cub	8-semicub	142 • 241 • 421
9-politopuri uniforme	9-simplex	9-ortoplex • 9-cub	9-semicub
10-politopuri uniforme	10-simplex	10-ortoplex • 10-cub	10-semicub
n-politopuri uniforme	n-simplex	n-ortoplex • n-cub	n-semicub	1k2 • 2k1 • k21	n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuri • Politop regulat