Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo.
Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por a interseção de conjuntos, tem-se
,
que vale para A e Bconjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.
Dado um conjunto e um conjunto de índices . Se para todo tem-se que , diz-se que é uma família de partes de, onde é o conjunto das partes de .
A união dos elementos da família é o conjunto:
.
Se existir uma bijeção , então pode-se denotar tal união por
,
onde para todo , e diz-se que tal união é uma união enumerável.
Se for finito e forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por
,
onde e diz-se que tal união é uma união finita.
Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Exemplo
Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}
Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}
Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A B = {1,9}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}
Propriedade
Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.
Sintaxe
Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:
A união é também uma adesão:
Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente: A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).
Exemplos
Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:
No mundo real podemos representar duas tabelas:
Chegada
Chegada
Trem
Estação
Hora
1
ES609
Firenze S.M.N.
15.30'
2
ES609
Bologna C.
16.30'
3
ES609
Padova
17.50'
4
ES609
Venezia S. Lucia
18.25'
Partida
Partida
Trem
Estação
Hora
1
ES609
Roma Termini
14.00'
2
ES609
Firenze S.M.N.
15.40'
3
ES609
Bologna C.
16.35'
4
ES609
Padova
17.55'
Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte: