Axioma da separação

 Nota: Se procura o axioma da separação do plano, veja Axioma de Pasch.

O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria dos Conjuntos.

Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.[1]

Se z é um conjunto e ${\displaystyle \phi \!}$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula ${\displaystyle \phi \!}$ na linguagem da ZFC com variáveis livres entre ${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$:

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x(x\in y\iff (x\in z\land \phi ))}$

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada ${\displaystyle \phi \!}$ temos um novo axioma.

φ deve ser uma fórmula bem formada[2]

História

Na Teoria ingênua dos conjuntos, o esquema usado (implicitamente) era:

${\displaystyle \forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x(x\in y\iff (\phi ))}$

Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.

Este esquema leva ao paradoxo de Russell e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de z.

Exemplo

• A existência da interseção de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos y e z, e a propriedade ${\displaystyle \phi (x,y,z)=(x\in y)\,}$, o axioma diz que existe um conjunto w tal que ${\displaystyle x\in w\iff x\in z\land \phi \,}$

Referências

1. Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
2. «Schemes for generating well-formed formulas, na Encyclopædia Britannica» 

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Wikilivros

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