Teoria de conjuntos de Zermelo

Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I [1] e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.

Axiomas da teoria de Zermelo

Axioma de extensão

Ver artigo principal: Axioma da extensão

Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Axioma do conjunto vazio

Ver artigo principal: Axioma do conjunto vazio

Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:

${\displaystyle \exists x\forall y\;(y\not \in x)}$

Axioma do conjunto unitário e do par

Ver artigo principal: Axioma do par

Para cada conjunto ${\displaystyle x}$ existe o conjunto unitário ${\displaystyle \{x\}}$. Para cada conjunto ${\displaystyle x}$ e para cada conjunto ${\displaystyle y}$ existe o par (não ordenado) ${\displaystyle \{x,y\}}$.

${\displaystyle \forall x\exists z(z=\{x\})}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z(z=\{x,y\})}$

Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares"[2]. Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:

${\displaystyle \forall x\forall y\left(x\neq y\Rightarrow \exists z\left(z=\{x,y\}\right)\right)}$

Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de ${\displaystyle \{x\}}$ e de ${\displaystyle \{y\}}$ usando ${\displaystyle \{x,y\}}$.

Axioma da separação

Ver artigo principal: Axioma da separação

Se a propriedade ${\displaystyle P(z)}$ está definida para todos os elementos de um conjunto ${\displaystyle x}$, então existe um subconjunto ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$ que contém os elementos de ${\displaystyle x}$ que satisfazem a propriedade ${\displaystyle P}$. Em termos atuais, dada uma fórmula ${\displaystyle \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z)}$ de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre ${\displaystyle z}$ e os parâmetros ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n}}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z\;(z\in y\Leftrightarrow z\in x\wedge \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z))}$

Axioma do conjunto potência

Ver artigo principal: Axioma da potência

Para todo conjunto ${\displaystyle x}$ existe um conjunto ${\displaystyle y}$ que tem como elementos todos os subconjuntos de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\rightarrow z\in y)}$

Um tal ${\displaystyle y}$ é denominado "conjunto potência de ${\displaystyle x}$" ou "conjunto das partes de ${\displaystyle x}$", usualmente denotado:

${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$

Axioma da união

Ver artigo principal: Axioma da união

Para todo conjunto ${\displaystyle x}$ existe um conjunto ${\displaystyle y}$ tal que todo elemento ${\displaystyle z}$ que pertence a um elemento de ${\displaystyle x}$ é um elemento de ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,\forall h(h\in x\land z\in h\Rightarrow z\in y)}$

Esse ${\displaystyle y}$ cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de ${\displaystyle x}$":

${\displaystyle y=\bigcup (x)}$

Ou "união dos elementos de ${\displaystyle x}$":

${\displaystyle y=\bigcup _{h\in x}(h)}$

Axioma do infinito

Ver artigo principal: Axioma do infinito

Existe um conjunto ${\displaystyle y}$ que contém o conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$, e para cada ${\displaystyle x\in y}$, o conjunto ${\displaystyle \{x\}}$ também pertence a ${\displaystyle y}$. Note que Zermelo usa ${\displaystyle \{x\}}$ como o sucessor de ${\displaystyle x}$ na sequência numérica (Zahlenreihe):

${\displaystyle 0,\{0\},\{\{0\}\},\{\{\{0\}\}\},\dots }$

A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como ${\displaystyle x\cup \{x\}}$.

O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:

${\displaystyle \exists y\left((\varnothing \in y)\wedge \forall x(x\in y\Rightarrow \{x\}\in y)\right)}$

Axioma da escolha

Ver artigo principal: Axioma da escolha

Se ${\displaystyle x}$ é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha ${\displaystyle e}$ contido na união de ${\displaystyle x}$, tal que para cada elemento ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle e}$ tem um único elemento em comum com ${\displaystyle y}$. A ideia intuitiva é que o conjunto ${\displaystyle e}$ "escolhe" um elemento de cada ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\left(\forall y_{0},y_{1}\in x(y_{0}\cap y_{1}=\varnothing )\Rightarrow \exists e\forall y\in x\;\exists z\left(e\cap y=\{z\}\right)\right)}$

Contribuição de Zermelo

• Axioma de extensão. Foi idealizado por Bolzano[3], mas como esse trabalho só foi publicado em 1975, possivelmente era desconhecido por Zermelo. Entretanto, Zermelo possivelmente conhecia o trabalho de Dedekind[4] publicado em 1888, que contém um enunciado desse axioma[5].

• Axioma da separação. É original de Zermelo[6]. Skolem propõe, por volta de 1920, que no lugar da "propriedade definida" que aparece na formulação de Zermelo, seja usada uma fórmula da linguagem (de primeira ordem)[7].

• Axioma do conjunto vazio. Zermelo utiliza a palavra "impróprio" (uneigentliche) para se referir ao conjunto vazio, pois não está claro se se ajusta à definição de Cantor de conjunto[5]. Não usado por Cantor nem por Dedekind, possivelmente seja uma definição original de Zermelo.

• Axiomas do conjunto unitário, do par, da união e da potência. Cantor usa esses procedimentos de maneira não formalizada.

• Axioma do infinito. Cantor não dá uma definição formal dos números naturais, mas assume a existência do conjunto deles. Dessa maneira assume a existência de conjuntos infinitos. Além disso, Cantor afirma:

Que as multiplicidades "enumeráveis" são conjuntos acabados, parece-me um enunciado axiomático seguro.[8]

Na apresentação de Dedekind de 1888 do Princípio de indução matemática[9], ele concebe o conjunto dos números naturais como contendo e o sucessor de cada elemento desse conjunto. Entretanto, Dedekind define "infinito" de uma maneira diferente, hoje conhecida como infinito de Dedekind[10].

• Axioma da escolha. Introduzido pelo próprio Zermelo em 1904[11] para demonstrar que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Independência e consistência relativa dos axiomas

O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula ${\displaystyle z}$≠${\displaystyle z}$ que não é satisfeita por nenhum elemento.

Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que ${\displaystyle a}$≠${\displaystyle b}$ para a existência do par ${\displaystyle \{a,b\}}$, então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de ${\displaystyle \{a,a\}=\{a\}}$. A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa[12], resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.

Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha[13].

A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, ${\displaystyle V_{\omega }}$ é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.

Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo[14].

Referências

1. Zermelo 1908
2. (Axiom der Elementarmengen, Zermelo 2010, p. 192.
3. Bolzano 1975
4. Dedekind 1932, p. 345
5. Ver o comentário de Felgner em Zermelo 2010, p. 176.
6. Ver o comentário de Felgner em Zermelo 2010, pp. 179−181.
7. Ver van Heijenoort 1967, p. 285.
8. "Daß die 'abzählbaren' Vielheiten fertige Mengen sind, scheint mir ein axiomatisch sicherer Satz zu sein.", Zermelo 2010, p. 175. Felgner considera esse enunciado um axioma de infinito (Ibid.).
9. Dedekind 1932, p. 361
10. Dedekind 1932, p. 356
11. Zermelo 1904
12. Boffa 1872
13. Ver van Heijenoort 1967, pp. 284−289.
14. Ver González 1991 para esses resultados.

Bibliografia

• Maurice Boffa (1972). «L'axiome de la paire dans le système de Zermelo». Archive for Mathematical Logic (em francês). 15 (3−4): 97−98 

• Bernard Bolzano (1975). Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre (em alemão). II A 7. Stuttgart: Frommann-Holzboog 

• Richard Dedekind (1932). «Was sind und was sollen die Zahlen?». Gesammelte mathematische Werke (em alemão). III. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. p. 335−391 

• Carlos Gustavo González (1991). Modelos da Teoria de Conjuntos de Zermelo. Campinas: Dissertação de mestrado 

• Jean van Heijenoort (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press 

• Ernst Zermelo (1904). «Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann». Mathematische Annalen (em alemão). 59 (4): 514−516  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 114−119, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 139−141.

• Ernst Zermelo (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (2): 261−281  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 188−229, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 199−215.

• Ernst Zermelo (2010). Collected Works — Gesammelte Werke (em alemão e inglês). I. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-79383-0