Produto fibrado

Diagrama de produto fibrado

O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Definição

Dadas duas setas ${\displaystyle f:b\rightarrow a}$ e ${\displaystyle g:c\rightarrow a}$, de uma categoria C qualquer, com destino comum ${\displaystyle a}$, o produto fibrado de ${\displaystyle (f,g)}$ é um objeto ${\displaystyle b\times _{a}c}$ e duas setas ${\displaystyle p:b\times _{a}c\rightarrow b}$ e ${\displaystyle q:b\times _{a}c\rightarrow c}$ tal que:

1. ${\displaystyle f\circ p=g\circ q}$, onde ${\displaystyle f\circ p,g\circ q:b\times _{a}c\rightarrow a}$;
2. Para qualquer outra tripla ${\displaystyle (d,h:d\rightarrow b,k:d\rightarrow c)}$ tal que ${\displaystyle g\circ k=f\circ h}$, existe uma única seta ${\displaystyle \langle h,k\rangle _{a}:d\rightarrow b\times _{a}c}$ tal que ${\displaystyle p\circ \langle h,k\rangle _{a}=h}$ e ${\displaystyle q\circ \langle h,k\rangle _{a}=k}$.

Neste caso, diz-se que $${\displaystyle {\begin{matrix}b\times _{a}c&{\overset {q}{\to }}&c\\\downarrow p&&\downarrow g\\b&{\overset {f}{\to }}&a\end{matrix}}}$$ é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.[1]

Exemplo

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ é o conjunto ${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$, com as restrições das projeções ${\displaystyle p_{1}}$ e ${\displaystyle p_{2}}$ a ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$.

Propriedade

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer $${\displaystyle {\begin{matrix}A&\to &C&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\B&\to &D&\to &F\end{matrix}}}$$se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.[2]

Produto fibrado de família de morfismos

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família ${\displaystyle \{g_{i}:a_{i}\to b\}_{i\in I}}$ de morfismos na categoria ${\displaystyle C}$. Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto ${\displaystyle a\in C}$, junto a outra família de morfismos ${\displaystyle \{f_{i}:a\to a_{i}\}_{i\in I}}$ e um morfismo ${\displaystyle f:a\to b}$, tal que:

• ${\displaystyle g_{i}\circ f_{i}=f}$ para qualquer índice ${\displaystyle i\in I}$;
• para qualquer família ${\displaystyle \{f'_{i}:a'\to a_{i}\}_{i\in I}}$ de morfismos e morfismo ${\displaystyle f':a'\to b}$ tais que ${\displaystyle g_{i}\circ f'_{i}=f'}$ para qualquer índice ${\displaystyle i\in I}$, há único morfismo ${\displaystyle h:a'\to a}$ tal que ${\displaystyle f'=f\circ h}$ e ${\displaystyle f'_{i}=f_{i}\circ h}$ para cada ${\displaystyle i\in I}$.[3]

O morfismo ${\displaystyle f:a\to b}$ (que só foi explicitado acima para o caso ${\displaystyle I=\emptyset }$) também é chamado de pullback.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Referências

1. (Mac Lane 1998, §III.4)
2. (Mac Lane 1998, Exercício III.4.8)
3. (Adámek, Herrlich, Strecker, Exercício III.11L)

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.

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