Adjunção (teoria das categorias)

Diagrama comutativo da condição de naturalidade de φ

$${\displaystyle {\begin{array}{r l c r l}&\hom _{D}(F(c),d)&\cong &\hom _{C}(c,G(d))\\{\scriptstyle k\circ -\circ F(h)}&\downarrow &&\downarrow &{\scriptstyle G(k)\circ -\circ h}\\&\hom _{D}(F(c'),d')&\cong &\hom _{C}(c',G(d'))\\\end{array}}}$$

Na teoria das categorias, uma adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ é uma tripla consistindo de dois functores ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$, ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$ e uma família de isomorfismos $${\displaystyle \phi _{c,d}:\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d))}$$ natural em ${\displaystyle (c,d)}$; a condição de naturalidade é expressa por

${\displaystyle G(k)\circ \phi _{c,d}(f)\circ h=\phi _{c',d'}(k\circ f\circ F(h))}$ para cada ${\displaystyle f:F(c)\to d}$, ${\displaystyle k:d\to d'}$ e ${\displaystyle h:c'\to c}$,

ou equivalentemente por

${\displaystyle k\circ \phi _{c,d}^{-1}(g)\circ F(h)=\phi _{c',d'}^{-1}(G(k)\circ g\circ h)}$ para cada ${\displaystyle g:c\to G(d)}$, ${\displaystyle k:d\to d'}$ e ${\displaystyle h:c'\to c}$.

Nesse caso, ${\displaystyle F}$ é dito adjunto esquerdo a ${\displaystyle G}$, e ${\displaystyle G}$ é dito adjunto direito a ${\displaystyle F}$, e escreve-se ${\displaystyle F\dashv G}$.[1]

Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.[2]

Unidade e counidade

Dada adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$, a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais ${\displaystyle \eta :1{\dot {\rightarrow }}GF}$, ${\displaystyle \epsilon :FG{\dot {\rightarrow }}1}$, com componentes: $${\displaystyle \eta _{c}=\phi _{c,F(c)}(1_{F(c)}):c\rightarrow G(F(c))}$$ $${\displaystyle \epsilon _{d}=\phi _{G(d),d}^{-1}(1_{G(d)}):F(G(d))\rightarrow d}$$ para cada ${\displaystyle c\in C,d\in D}$. Têm-se as igualdades

${\displaystyle \phi _{c,d}(f)=G(f)\circ \eta _{c}}$ para cada ${\displaystyle f:F(c)\to d}$,

além de

${\displaystyle \phi _{c,d}^{-1}(g)=\epsilon _{d}\circ F(g)}$ para cada ${\displaystyle g:c\to G(d)}$.

Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam:[3] $${\displaystyle {\begin{array}{c c l c r c c}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF&\,&GFG&{\xleftarrow {\eta G}}&G\\&{}_{1}\searrow &\downarrow \epsilon F&&G\epsilon \downarrow &\swarrow _{1}\\&&F&&G\end{array}}}$$

Caracterizações alternativas

Por setas universais

Seja functor ${\displaystyle G:D\to C}$. Supõe-se que, para cada ${\displaystyle c\in C}$, há objeto ${\displaystyle f_{c}\in D}$ e seta universal ${\displaystyle \eta _{c}:c\to G(f_{c})}$ de ${\displaystyle c}$ ao functor ${\displaystyle G}$, isto é, representação $${\displaystyle G(-)\circ \eta _{c}:\hom _{D}(f_{c},-)\cong \hom _{C}(c,G(-)).}$$ Então, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ tal que ${\displaystyle F(c)=f_{c}}$ para cada ${\displaystyle c\in C}$ e tal que ${\displaystyle \eta _{c}}$ são as componentes da unidade.

Dualmente, dado functor ${\displaystyle F:C\to D}$ tal que, para cada ${\displaystyle d\in D}$, há objeto ${\displaystyle g_{d}\in C}$, e seta universal ${\displaystyle \epsilon _{d}:F(g_{d})\to d}$ do functor ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle d}$, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ tal que ${\displaystyle G(d)=g_{d}}$ para cada ${\displaystyle d\in D}$ e tal que ${\displaystyle \epsilon _{d}}$ são as componentes da counidade.[4]

Por unidade e counidade

Sejam functores ${\displaystyle F:C\to D}$, ${\displaystyle G:D\to C}$, e supõe-se que há transformações naturais ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}GF}$, ${\displaystyle \epsilon :FG{\dot {\to }}1}$ satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ que tem ${\displaystyle \eta }$ como unidade e ${\displaystyle \epsilon }$ como counidade.[5]

Exemplos

• O functor ${\displaystyle U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}}$, levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo ${\displaystyle F:{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Grp}}}$, que leva cada conjunto ${\displaystyle X}$ ao grupo livre em ${\displaystyle X}$. A unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}UF}$ é a "inserção de geradores", e a counidade ${\displaystyle \epsilon :FU{\dot {\to }}1}$ é a "avaliação de expressões".
• Denote por ${\displaystyle {\mathsf {Met}}}$ a categoria de espaços métricos e isometrias, e por ${\displaystyle {\mathsf {CompMet}}}$ a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão ${\displaystyle U:{\mathsf {CompMet}}\to {\mathsf {Met}}}$ tem adjunto esquerdo ${\displaystyle C:{\mathsf {Met}}\to {\mathsf {CompMet}}}$, levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}UC}$ é a "inclusão na completação", e a counidade ${\displaystyle \epsilon :CU{\dot {\to }}1}$ evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação.[6]
• Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que ${\displaystyle \hom(a,b)}$ tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando ${\displaystyle a\leq b}$. Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:$${\displaystyle F(c)\leq d\iff c\leq 'G(d).}$$

  A unidade e a counidade correspondem às desigualdades ${\displaystyle c\leq G(F(c))}$, ${\displaystyle F(G(d))\leq d}$, respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam ${\displaystyle c=F(G(F(c)))}$ e ${\displaystyle d=G(F(G(d)))}$. Eis exemplos de conexões de Galois:

  • Dada função ${\displaystyle f:A\to B}$, há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:$${\displaystyle f^{\rightarrow }(A')\subseteq B'\iff A'\subseteq f^{\leftarrow }(B')}$$

    para cada ${\displaystyle A'\subseteq A}$, ${\displaystyle B'\subseteq B}$.

  • Seja extensão de corpo ${\displaystyle k\subseteq F}$. Para cada corpo intermediário ${\displaystyle k\subseteq E\subseteq F}$, denota-se por ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{E}{F}}$ o conjunto dos automorfismos de ${\displaystyle F}$ fixando cada elemento de ${\displaystyle E}$, e, para cada subgrupo ${\displaystyle G\subseteq \mathrm {Aut} _{k}{F}}$, denota-se por ${\displaystyle F^{G}}$ o corpo dos elementos de ${\displaystyle F}$ que são fixados por cada automorfismo em ${\displaystyle G}$. Então,$${\displaystyle \mathrm {Aut} _{E}{F}\supseteq G\iff E\subseteq F^{G}.}$$

    Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.[7]

Propriedades

Adjunção e limites

Dada adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$, o adjunto direito ${\displaystyle G}$ preserva os limites de cada ${\displaystyle K:J\to D}$. A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais: $${\displaystyle \mathrm {Cone} (-,GK)\cong \mathrm {Cone} (F(-),K)\cong \hom _{D}(F(-),\lim K)\cong \hom _{D}(-,G(\lim K)).}$$ Dualmente, o adjunto esquerdo ${\displaystyle F}$ preserva todos os colimites.[8]

Unicidade do functor adjunto

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G,\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D}$, existe único isomorfismo natural ${\displaystyle \theta :F{\dot {\cong }}F'}$ comutando com as unidades e as counidades:

${\displaystyle \eta '=G\theta \cdot \eta }$, ${\displaystyle \epsilon =\epsilon '\cdot \theta G}$.[9]

Composição de adjunções

A composição de duas adjunções ${\displaystyle (F,G,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G',\eta ',\epsilon '):D\rightharpoonup E}$ é a adjunção:

${\displaystyle (F'F,GG',G\eta 'F\cdot \eta ,\epsilon '\cdot F'\epsilon G'):C\rightharpoonup E}$.[10]

Transformações de adjunções

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C'\rightharpoonup D'}$, um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores ${\displaystyle K:D\to D',L:C\to C'}$, tal que:[11]

• É diagrama comutativo: $${\displaystyle {\begin{array}{r c r c r}D&{\xrightarrow {G}}&C&{\xrightarrow {F}}&D\\K\downarrow &&L\downarrow &&K\downarrow \\D'&{\xrightarrow {G'}}&C'&{\xrightarrow {F'}}&D'\end{array}}}$$
• Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale:
  • ${\displaystyle L\eta =\eta 'L}$.
  • ${\displaystyle \epsilon 'K=K\epsilon }$.
  • Para cada ${\displaystyle c,d}$, é diagrama comutativo: $${\displaystyle {\begin{array}{c}\hom _{D}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{C}(c,G(d))\\K\downarrow &&\downarrow L\\\hom _{D'}(K(F(c)),K(d))&&\hom _{C'}(L(c),L(G(d)))\\||&&||\\\hom _{D'}(F'(L(c)),K(d))&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{C'}(L(c),G'(K(d)))\end{array}}}$$

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon )}$, ${\displaystyle (F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D}$ (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais ${\displaystyle \sigma :F{\dot {\to }}F'}$ e ${\displaystyle \tau :G'{\dot {\to }}G}$ são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale:

• Para cada ${\displaystyle c,d}$, é diagrama comutativo:$${\displaystyle {\begin{array}{r c l}\hom _{C}(F'(c),d)&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{D}(c,G'(d))\\-\circ \sigma _{c}\downarrow &&\downarrow \tau _{d}\circ -\\\hom _{C}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{D}(c,G(d))\end{array}}}$$
• ${\displaystyle \tau }$ é igual à composta ${\displaystyle G'{\xrightarrow {\eta G'}}GFG'{\xrightarrow {G\sigma G'}}GF'G'{\xrightarrow {G\epsilon '}}G}$.
• ${\displaystyle \sigma }$ é igual à composta ${\displaystyle F{\xrightarrow {F\eta '}}FG'F'{\xrightarrow {F\tau F'}}FGF'{\xrightarrow {\epsilon F'}}F'}$.
• ${\displaystyle \epsilon \cdot F\tau =\epsilon '\cdot \sigma G'}$.
• ${\displaystyle G\sigma \cdot \eta =\tau F'\cdot \eta '}$.

Dada transformação natural ${\displaystyle \sigma :F{\dot {\to }}F'}$, há exatamente uma transformação natural ${\displaystyle \tau :G'{\dot {\to }}G}$ que é conjugada a ${\displaystyle \sigma }$. Similarmente, ${\displaystyle \tau }$ determina unicamente ${\displaystyle \sigma }$.[12]

Adjunções de duas variáveis

Dado functor F : A × B → C, tal que, para cada a ∈ A, o functor F(a, –) : B → C tem adjunto direito G_a : C → B, existe único functor G : A^op × C → B tal que G(a, –) = G_a para cada a ∈ A e tal que os isomorfismos $${\displaystyle \hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))}$$ são naturais nas três variáveis a, b, c; a tupla consistindo dos functores F, G e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro a.[13]

Adicionalmente, se, para cada b ∈ B, F(–, b) : A → C também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais $${\displaystyle \hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))\cong \hom _{A}(a,H(b,c));}$$diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").[14][15]

Adjuntos fiéis e plenos

Numa adjunção (F, G, φ, η, ε) : C ⇀ D:

• G é fiel se e só se cada ε_d é epimorfismo;
• G é pleno se e só se cada ε_d é seção;
• G é pleno e fiel se e só se cada ε_d é isomorfismo.

Com efeito, denotando-se por ρ_{d, d'} a composta $${\displaystyle \hom _{D}(d,d'){\xrightarrow {G}}\hom _{C}(G(d),G(d'))\cong \hom _{D}(F(G(d)),d'),}$$que é o mapeamento f ↦ f ∘ ε_d, G é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada ρ_{d, d'} é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada ε_d é epimorfismo (respectivamente seção).[16]

Dualmente,

• F é fiel se e só se cada η_c é monomorfismo;
• F é pleno se e só se cada η_c é retração;
• F é pleno e fiel se e só se cada η_c é isomorfismo.[17]

Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.

Subcategoria reflexiva

Uma subcategoria D de uma categoria C é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão D → C admite adjunto esquerdo L : C → D, chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.[16]) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade L(d) → d é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de D).

Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.[17]

Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.

Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".[16]

Mônade associada

Ver artigo principal: Mónade (teoria das categorias)

Cada adjunção (F, G, η, ε) : C ⇀ D associa-se a uma mônade, de endofunctor G ∘ F : C → C, de unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}GF}$ e de multiplicação ${\displaystyle G\epsilon F:(GF)^{2}{\dot {\to }}GF}$.[18]

Existência de adjuntos

O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada ${\displaystyle D}$ categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos ${\displaystyle \hom }$ são pequenos, e dada ${\displaystyle C}$ categoria qualquer, um functor ${\displaystyle G:D\to C}$ tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz:

Para cada ${\displaystyle x\in C}$, existe conjunto pequeno ${\displaystyle I}$ e família de setas ${\displaystyle \{f_{i}:x\to G(a_{i})\}_{i\in I}}$ tal que, para cada seta ${\displaystyle h:x\to G(a)}$, há ${\displaystyle i\in I,t:a_{i}\to a}$ tais que ${\displaystyle h=G(t)\circ f_{i}}$.[19]

O teorema especial do functor adjunto diz que, dada D categoria pequeno-completa e com conjuntos hom pequenos, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, tais que D tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em D tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor G : D → C pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.

Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada D categoria pequeno-completa, com conjuntos hom pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada d ∈ D, a coleção de subobjetos de d pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, um functor G : D → C tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.[20]

Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.[21]

A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas.

• Denota-se por ${\displaystyle U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}}$ o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que U estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ é pequeno-completa. É claro que ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ tem conjuntos hom pequenos. Seja X conjunto pequeno. Seja {A_i} família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo card X elementos. As inclusões dos geradores {f_i : X → U(A_i)} satisfazem a condição requerida. Segue que U tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres.[19]
• Denota-se por ${\displaystyle G:{\mathsf {CompHaus}}\to {\mathsf {Top}}}$ o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos hom pequenos. O lema de Urysohn implica que { é cosseparador para ${\displaystyle {\mathsf {CompHaus}}}$. As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que G tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.[20]

Referências

1. (Mac Lane, §IV.1)
2. (Mac Lane, prefácio, §IV.2)
3. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 1)
4. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 2(i–iv))
5. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 2(v))
6. (Mac Lane, §IV.2, tabela)
7. (Mac Lane, §IV.5)
8. (Riehl, §4.5)
9. (Riehl, §4.4)
10. (Mac Lane, §IV.8)
11. (Mac Lane, §IV.7, proposição 1)
12. (Mac Lane, §IV.7, proposição 2)
13. (Mac Lane, §IV.7, teorema 3)
14. (Riehl, §4.3)
15. «Two-variable adjunction – nLab». Consultado em 11 de março de 2020 
16. (Mac Lane, §IV.3)
17. (Riehl, §4.5)
18. (Riehl, §5.1)
19. (Mac Lane, §V.6)
20. (Mac Lane, §V.8)
21. (Riehl, §4.6)

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8