Limites e colimites

Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.[1][2]

Definição

Sejam ${\displaystyle J,C}$ categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor ${\displaystyle F:J\to C}$. Aqui, para cada ${\displaystyle c\in C}$, denota-se por ${\displaystyle \Delta (c):J\to C}$ o functor constante, definido por: ${\displaystyle \Delta (c)(i)=c}$ para cada ${\displaystyle i\in J}$; ${\displaystyle \Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}}$ para cada ${\displaystyle u}$ morfismo em ${\displaystyle J}$.[3]

Cones

Um cone do vértice ${\displaystyle c\in C}$ ao functor ${\displaystyle F}$ é uma transformação natural ${\displaystyle \Delta (c){\dot {\to }}F}$, e, dualmente, um cone de ${\displaystyle F}$ ao vértice ${\displaystyle c}$ é uma transformação natural ${\displaystyle F{\dot {\to }}\Delta (c)}$.[4] Em símbolos: $${\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),}$$ $${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).}$$

A condição de naturalidade para cones de ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle F}$ é ${\displaystyle F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}}$ para cada ${\displaystyle k:i\to j}$ em ${\displaystyle J}$, ou seja, $${\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},}$$ e cones de ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle c}$ satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor ${\displaystyle \mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$ (e analogamente ${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}}$); para cada ${\displaystyle f:c\to d}$, ${\displaystyle \mathrm {Cone} (f,F)}$ leva uma transformação natural de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}:d\to F(i)}$ a uma de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}\circ f:c\to F(i)}$.[5]

Limites e colimites

Em cada representação $${\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de limite de ${\displaystyle F}$; o correspondente elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)}$ é chamado cone limitante. Noutras palavras, ${\displaystyle \lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F}$ é cone limitante se e só se, para cada outro cone ${\displaystyle \mu :\Delta (b){\dot {\to }}F}$, há precisamente uma seta ${\displaystyle f:b\to a}$ tal que ${\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f}$ para cada ${\displaystyle j\in J}$.

Dualmente, numa representação $${\displaystyle \hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de colimite de ${\displaystyle F}$, e o elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)}$ é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por ${\displaystyle \mathrm {lim} \,F}$, ${\displaystyle \mathrm {colim} \,F}$.[4][1][2]

Exemplos

Um limite para um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é chamado:

• produto quando ${\displaystyle J}$ é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:$${\displaystyle \hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),}$$onde ${\displaystyle a,b}$ são as imagens de ${\displaystyle F}$ nos dois objetos de ${\displaystyle J}$.
• objeto terminal quando ${\displaystyle J}$ é vazia. A representação acima se reduz a:$${\displaystyle \hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,}$$onde ${\displaystyle \star }$ é conjunto de exatamente um elemento.
• equalizador quando ${\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }$ (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
• produto fibrado (ou pullback) quando ${\displaystyle J=\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$.

Dualmente, um colimite para ${\displaystyle F:J\to C}$ é chamado:

• coproduto quando ${\displaystyle J}$ é discreta.
• objeto inicial quando ${\displaystyle J}$ é vazia.
• coequalizador quando ${\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }$.
• coproduto fibrado (ou pushout) quando ${\displaystyle J=\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet }$.[6][2][1]

Quando a categoria ${\displaystyle C}$ é uma pré-ordem,

• o limite de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é o ínfimo ${\displaystyle \inf _{i\in J}{F(i)}}$.
• o colimite de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é o supremo ${\displaystyle \sup _{i\in J}{F(i)}}$.[7]

Existência

Categorias completas e cocompletas

Uma categoria ${\displaystyle C}$ é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena ${\displaystyle J}$, todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tem limite. Dualmente, ${\displaystyle C}$ é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tal que ${\displaystyle J}$ é categoria pequena tem colimite.

Se ${\displaystyle C}$ tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então ${\displaystyle C}$ é completa. Com efeito, um limite de ${\displaystyle F:J\to C}$ é o domínio ${\displaystyle d}$ do equalizador: $${\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}}$$ em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, ${\displaystyle p_{(-)}}$ denota as projeções dos produtos): $${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,}$$ e o cone limitante tem componentes ${\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)}$ para cada ${\displaystyle i\in J}$.[8]

Na categoria dos conjuntos

A categoria ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor ${\displaystyle F:J\to {\mathsf {Set}}}$: $${\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},}$$ $${\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,}$$ onde ${\displaystyle \sim }$ é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, ${\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}}$ denota as inclusões no coproduto): $${\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))}$$ para cada ${\displaystyle x\in F(j)}$ e ${\displaystyle u:j\to k}$.[9][10]

Adjunção com o functor diagonal Δ

O functor ${\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}$ tem adjunto direito se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$, e tem adjunto esquerdo se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle \hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)}$, ${\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))}$.

Neste caso, ${\displaystyle \operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim} }$, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores ${\displaystyle C^{J}\to C}$.[11]

Functores e limites

Um functor ${\displaystyle U:C\to D}$:

• preserva os limites de ${\displaystyle F:J\to C}$ se e só se, para cada cone limitante ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$, também ${\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}$ é cone limitante.
• reflete os limites de ${\displaystyle F:J\to C}$ se e só se, para cada cone ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$ tal que ${\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}$ é cone limitante, também ${\displaystyle \lambda }$ é cone limitante.
• cria os limites de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tal que ${\displaystyle UF:J\to D}$ tem limite se e só se ${\displaystyle F:J\to C}$ também tem limite, e ${\displaystyle U}$ preserva e reflete os limites de ${\displaystyle F}$.[12]
• estritamente cria os limites de ${\displaystyle F}$ se e só se, para cada cone limitante ${\displaystyle \mu :\Delta (d){\dot {\to }}UF}$, há único ${\displaystyle c\in C}$ e cone ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$ tal que ${\displaystyle \mu =U\lambda }$, e ainda mais este ${\displaystyle \lambda }$ é cone limitante.[13]

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.[14]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor ${\displaystyle U:C\to D}$ é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Os functores ${\displaystyle \hom _{C}(c,-):C\to {\mathsf {Set}}}$ são sempre contínuos.[15] Assim, têm-se isomorfismos:[16] $${\displaystyle \hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))}$$ $${\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))}$$

Propriedades

Limites pontualmente

Um limite de um functor F : J → C^A existe precisamente quando cada functor E_a ∘ F : J → C tem limite (onde E_a : C^A → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de E_a ∘ F para cada a ∈ A.[17]

Limites comutam

Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor

lim_{j ∈ J} F(–, j) : I → C,

que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

lim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) ≅ lim_{j ∈ J} lim_{i ∈ I} F(i, j).[18]

Troca de limite com colimite

Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"

colim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) → lim_{j ∈ J} colim_{i ∈ I} F(i, j),

quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.[18]

Referências

1. (Mac Lane, §III.3)
2. (Mac Lane, §III.4)
3. (Mac Lane, §III.3."colimits")
4. (Riehl, §3.1)
5. (Riehl, exercício 3.1.i)
6. (Riehl, §3.1, págs. 77–81)
7. (Riehl, Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
8. (Mac Lane, §V.1, §V.2)
9. (Riehl, §3.2)
10. «Limits and colimits by example – nLab». Consultado em 22 de fevereiro de 2020 
11. (Riehl, §4.5)
12. «Created limit – nLab». Consultado em 16 de fevereiro de 2020 
13. (Riehl, §3.3)
14. (Mac Lane, §V.1, definição)
15. (Mac Lane, §V.4)
16. (Riehl, §3.4)
17. (Riehl, §3.3, proposição 3.3.9)
18. (Riehl, §3.8)

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 

Ligações externas

• «Category Theory Demonstrations» (em inglês). Página que gera exemplos de limites e colimites na categoria dos conjuntos finitos.