Instabilidade de Jeans

Em astrofísica, a instabilidade de Jeans, assim denominada em homenagem a James Jeans, causa o colapso de nuvens de gás interestelar e a subsequente formação de estrelas. A instabilidade ocorre quando a pressão interna na nuvem não é suficientemente elevada para evitar que se produza um colapso gravitacional de uma região que contém matéria.[1][2][3][4] Para que exista estabilidade, a nuvem deve estar em equilíbrio hidrostático, que no caso de uma nuvem esférica se traduz em

${\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho M_{enc}}{r^{2}}}}$,

onde ${\displaystyle M_{enc}}$ é a massa contida, ${\textstyle p}$ é a pressão, , ${\textstyle \rho (r)}$ é a densidade do gás (no raio ${\textstyle r}$), ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional e ${\textstyle r}$ é o raio.[1][2]

O equilíbrio é estável se as perturbações menores forem amortecidas e instável se forem amplificadas. De maneira geral, a nuvem é instável se for ou muito massiva a uma dada temperatura ou muito fria para uma dada massa para que a gravidade possa compensar a pressão do gás; nessas circunstâncias, o gradiente de pressão do gás não poderá superar a força gravitacional e a nuvem entrará em colapso.[1][2]

A instabilidade de Jeans provavelmente determina quando a formação de estrelas ocorre em nuvens moleculares.[5]

História

Em 1720, Edmond Halley considerou um universo sem limites e ponderou o que aconteceria se o “sistema do mundo”, que existe dentro do universo, fosse finito ou infinito. No caso finito, as estrelas gravitariam em direção ao centro e, se fossem infinitas, todas as estrelas estariam quase em equilíbrio e eventualmente alcançariam um local de repouso.[6] Contrário ao que escreveu Halley, Isaac Newton, em uma carta de 1692/3 a Richard Bentley, escreveu que é difícil imaginar que partículas em um espaço infinito sejam capazes de permanecer em tal configuração para resultar em um equilíbrio perfeito.[7][8]

James Jeans estendeu a questão da estabilidade gravitacional para incluir a pressão. Jeans escreveu, à semelhança de Halley, que uma distribuição finita de matéria, assumindo que a pressão não a impede, entrará em colapso gravitacional em direção ao seu centro. Para uma distribuição infinita de matéria, existem dois cenários possíveis. Uma distribuição exatamente homogênea não tem um centro de massa claro e nenhuma maneira clara de definir uma direção de aceleração gravitacional. Para o outro caso, Jeans estende o que Newton escreveu: Jeans demonstrou que pequenos desvios da homogeneidade exata levam a instabilidades.[9]

Massa de Jeans

A massa de Jeans tem o nome do físico britânico Sir James Jeans, que considerou o processo de colapso gravitacional em uma nuvem gasosa.[10] Ele foi capaz de mostrar que, sob condições apropriadas, uma nuvem, ou parte de uma, se tornaria instável e começaria a entrar em colapso quando não houvesse pressão suficiente para contrabalançar a força da gravidade. A nuvem é estável para uma massa suficientemente pequena (a uma determinada temperatura e raio), mas uma vez excedida esta massa crítica, iniciará um processo de contração descontrolada até que alguma outra força possa impedir o colapso.[11][12][13] Ele derivou uma fórmula para calcular essa massa crítica em função de sua densidade e temperatura.[5] Quanto maior for a massa da nuvem, maior será o seu tamanho e quanto mais fria for a sua temperatura, menos estável será contra o colapso gravitacional.[14][15]

O valor aproximado da massa de Jeans pode ser derivado através de um simples argumento físico. Começa-se com uma região gasosa esférica de raio ${\textstyle R}$, massa ${\textstyle M}$, e com um gás velocidade do som ${\textstyle c_{s}}$.[3][4] O gás é ligeiramente comprimido e leva algum tempo

$${\displaystyle t_{\text{sound}}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0.5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}}$$

para que as ondas sonoras cruzem a região e tentem empurrar para trás e restabelecer o sistema em equilíbrio de pressão. Ao mesmo tempo, a gravidade tentará contrair ainda mais o sistema, e o fará numa escala de tempo de queda livre (o tempo característico que levaria para um corpo entrar em colapso sob sua própria atração gravitacional)[11][12][13][14][16]

$${\displaystyle t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},}$$

onde ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional universal, ${\textstyle \rho }$ é a densidade do gás dentro da região, e ${\textstyle n=\rho /\mu }$ é a densidade numérica do gás para massa média por partícula (μ = 6973390000000000000♠3.9×10^−24 g é apropriado para hidrogênio molecular com 20% de hélio em número). Quando o tempo de passagem do som é menor que o tempo de queda livre, as forças de pressão superam temporariamente a gravidade e o sistema retorna a um equilíbrio estável. Porém, quando o tempo de queda livre é menor que o tempo de travessia do som, a gravidade supera as forças de pressão e a região sofre colapso gravitacional.[17] A condição para o colapso gravitacional é, portanto,

$${\displaystyle t_{\text{ff}}<t_{\text{sound}}.}$$

O comprimento de Jeans resultante ${\textstyle \lambda _{\text{J}}}$ é aproximadamente

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0.4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$$

Essa escala de comprimento é conhecida como comprimento de Jeans. Todas as escalas maiores que o comprimento de Jeans são instáveis ao colapso gravitacional, enquanto escalas menores são estáveis. A massa do Jeans ${\textstyle M_{\text{J}}}$ é apenas a massa contida em uma esfera de raio ${\textstyle R_{\text{J}}}$ (${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$ é metade do comprimento do Jeans):[17]

$${\displaystyle M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$$

A "fraude de Jeans"

Posteriormente, foi apontado por outros astrofísicos, incluindo Binney e Tremaine que a análise original utilizada por Jeans era falha, pelo seguinte motivo. Na sua análise formal, embora Jeans tenha assumido que a região em colapso da nuvem estava rodeada por um meio infinito e estático, a influência deste meio estático foi completamente ignorada na análise de Jeans. Essa falha ficou conhecida como "fraude de Jeans".[18][19]

Notavelmente, ao usar uma análise mais cuidadosa, levando em conta outros fatores, como a expansão do Universo, anula-se fortuitamente o aparente erro na análise de Jeans, e a equação de Jeans está correta, mesmo que sua derivação possa ter sido duvidosa.[19][20]

Derivação baseada em energia

Uma derivação alternativa, possivelmente ainda mais simples, pode ser encontrada usando considerações de energia. Na nuvem interestelar, duas forças opostas estão em ação. A pressão do gás, causada pelo movimento térmico dos átomos ou moléculas que compõem a nuvem, tenta fazer com que a nuvem se expanda, enquanto a gravitação tenta fazer com que a nuvem entre em colapso. A massa de Jeans é a massa crítica onde ambas as forças estão em equilíbrio entre si.[21] Na seguinte derivação de constantes numéricas (tal como π) e constantes da natureza (como a constante gravitacional) serão ignoradas. Eles serão reintroduzidos no resultado.

Considere uma nuvem de gás esférica homogênea com raio R. Para comprimir esta esfera em um raio R – dR, trabalho deve ser feito contra a pressão do gás. Durante a compressão, energia gravitacional é liberada. Quando esta energia é igual à quantidade de trabalho a ser realizada no gás, a massa crítica é atingida. Seja M a massa da nuvem, T a temperatura (absoluta), n a densidade das partículas e p a pressão do gás. O trabalho a ser feito é igual a p dV. Usando a lei dos gases ideais, segundo a qual p = nT, chega-se à seguinte expressão para o trabalho:

$${\displaystyle dW=nTR^{2}\,dR.}$$

A energia potencial gravitacional de uma esfera com massa M e raio R é, além das constantes, dada pela seguinte expressão:

$${\displaystyle U={\frac {M^{2}}{R}}.}$$

A quantidade de energia liberada quando a esfera se contrai do raio R ao raio R – dR é obtido pela diferenciação desta expressão para R, então

$${\displaystyle dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.}$$

A massa crítica é atingida assim que a energia gravitacional liberada for igual ao trabalho realizado sobre o gás:

$${\displaystyle {\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.}$$

A seguir, o raio R deve ser expresso em termos da densidade de partícula n e da massa M. Isso pode ser feito usando a relação

$${\displaystyle M=nR^{3}.}$$

Um pouco de álgebra leva à seguinte expressão para a massa crítica:

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Se durante a derivação todas as constantes forem levadas junto, a expressão resultante será

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {375k^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

onde k é a constante de Boltzmann, G a constante gravitacional e m a massa de uma partícula compreendendo o gás. Supondo que a nuvem consista em hidrogênio atômico, o pré-fator pode ser calculado. Se tomarmos a massa solar como unidade de massa, o resultado é

$${\displaystyle M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Comprimento de Jeans

Comprimento de Jeans é o raio crítico de uma nuvem (normalmente uma nuvem de gás molecular interestelar e poeira) onde a energia térmica, que faz com que a nuvem se expanda, é neutralizada pela gravidade, que causa o colapso da nuvem.[9][22]

A fórmula para o comprimento de Jeans é:

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

onde ${\textstyle k_{\text{B}}}$ é a constante de Boltzmann, ${\textstyle T}$ é a temperatura da nuvem, ${\textstyle \mu }$ é o peso molecular médio das partículas, ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional e ${\textstyle \rho }$ é a densidade de massa da nuvem (i.e. a massa da nuvem dividida pelo volume da nuvem).[23][24]

Talvez a maneira mais fácil de conceituar o comprimento do Jeans seja em termos de uma aproximação, na qual descartamos os fatores ${\textstyle 15}$ e ${\textstyle 4\pi }$ e no qual reformulamos ${\textstyle \rho }$ como ${\textstyle M/r^{3}}$ A fórmula para o comprimento do Jeans torna-se então:

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

onde ${\textstyle r}$ é o raio da nuvem.

Segue-se imediatamente que ${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$ quando ${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$; i.e., o raio da nuvem é o comprimento de Jeans quando a energia térmica por partícula é igual ao trabalho gravitacional por partícula. Neste comprimento crítico, a nuvem não se expande nem contrai. Somente quando a energia térmica não é igual ao trabalho gravitacional é que a nuvem se expande e esfria ou se contrai e aquece, um processo que continua até que o equilíbrio seja alcançado.

Usando a equação de Friedmann, o comprimento de Hubble pode ser escrito como uma espécie de comprimento de Jeans em que a velocidade do som é substituída pela velocidade da luz e pode ser interpretado como um comprimento de onda máximo.[25]

$${\displaystyle \lambda _{\text{H}}=2\pi c/{\sqrt {8\pi G\epsilon _{b}/c^{2}a}}}$$

Onde ${\textstyle \epsilon _{b}}$ é a densidade de energia, que é dado por

$${\displaystyle \epsilon _{b}=\rho c^{2}}$$

Onde, por sua vez, ${\textstyle \rho }$ a densidade de massa de repouso e ${\displaystyle c}$ a velocidade da luz.[22]

O comprimento de Jeans fornece uma estimativa do tamanho mínimo dos objetos que podem sofrer colapso gravitacional, e consequentemente, perturbações para as quais o comprimento de onda λ é maior que o comprimento de Jeans (ou seja, λ > λJ) podem crescer por instabilidade gravitacional para formar as estruturas observadas no Universo.[22]

Quando o comprimento de Jeans é da ordem do comprimento de Hubble (horizonte), não há instabilidade de Jeans. Portanto, estruturas de grande escala não poderiam se formar no limite ultra-relativístico, na evolução do universo (era da radiação).[22]

Comprimento de Jeans como comprimento de onda de oscilação

O comprimento de Jeans é o comprimento de onda de oscilação (respectivamente, número de onda de Jeans, ${\textstyle k_{\text{J}}}$) abaixo do qual ocorrerão oscilações estáveis, em vez de colapso gravitacional.[15][21]

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

onde ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional, ${\textstyle c_{\text{s}}}$ é a velocidade do som e ${\textstyle \rho }$ é a densidade de massa fechada inclusa.

É também a distância que uma onda sonora percorreria no tempo de colapso.

Fragmentação

A instabilidade de Jeans também pode dar origem à fragmentação em determinadas condições.[26] Para derivar a condição de fragmentação é assumido um processo adiabático em um gás ideal e também uma equação de estado politrópica. A derivação é mostrada abaixo através de uma análise dimensional:

Para processos adiabáticos, ${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\rightarrow V\propto P^{-{\frac {1}{\gamma }}}.}$

Para um gás ideal, ${\displaystyle PV=nRT\Rightarrow P\cdot P^{-{\frac {1}{\gamma }}}=P^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\propto T\Rightarrow P\propto T^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}.}$

Equação de estado politrópico, ${\displaystyle P=K\rho ^{\gamma }\rightarrow T\propto \rho ^{\gamma -1}.}$

Massa de Jeans, ${\displaystyle M_{\text{J}}\propto T^{\frac {3}{2}}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}(\gamma -1)}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Assim, ${\displaystyle M_{\text{J}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}\left(\gamma -{\frac {4}{3}}\right)}.}$

Se o índice adiabático ${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$, a massa de Jeans aumenta com o aumento da densidade, enquanto se ${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$ a massa de Jeans diminui com o aumento da densidade. Durante o colapso gravitacional, a densidade sempre aumenta, portanto, no segundo caso, a massa de Jeans diminuirá durante o colapso, permitindo o colapso de regiões superdensas menores, levando à fragmentação da nuvem molecular gigante.[5][27] Para um gás monoatômico ideal, o índice adiabático é 5/3. Contudo, em objetos astrofísicos este valor é geralmente próximo de 1 (por exemplo, em gás parcialmente ionizado a temperaturas baixas em comparação com a energia de ionização).[28] De forma mais geral, o processo não é realmente adiabático, mas envolve o resfriamento por radiação que é muito mais rápida que a contração, de modo que o processo pode ser modelado por um índice adiabático tão baixo quanto 1 (que corresponde ao índice politrópico de um gás isotérmico).[29] Portanto, o segundo caso é a regra e não uma exceção nas estrelas. Esta é a razão pela qual as estrelas geralmente se formam em aglomerados.[26]

A distribuição dessas estrelas em formação pode ser descrita pela função de massa inicial.[30]

Ação de ondas de choque

Estrelas massivas em seus processos finais de fusão explodem, se transformam em supernovas, proporcionando uma onda de choque através das nuvens circundantes de gás e poeira. Esta onda de choque comprime o gás e a poeira de uma nuvem interestelar, acelerando os processos ocasionados pelo colapso consequente pelas instabilidades gravitacionais naturais, a instabilidade de Jeans, que assumem o controle do processo, dividindo-a em fragmentos que eventualmente proporcionando o nascimento de uma nova geração de estrelas. Deve-se observar que todo esse processo, desde a morte de uma estrela massiva até ao nascimento de novas estrelas, demanda milhões de anos para se completar.[31][32][33]

Generalização para um meio turbulento

Chandrasekhar derivou de sua teoria das flutuações de densidade em um campo de turbulência homogêneo isotrópico a generalização para um meio turbulento do critério de Jeans para a estabilidade contra a falta de homogeneidade de um meio homogêneo quiescente infinito.[34][35]

A expressão que ele obtém pode ser escrita:[34]

${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\pi }{G\rho }}(c^{2}+{\frac {1}{3}}{\overline {u}}^{2})={\frac {\pi }{G\rho }}(\gamma {\frac {k\theta }{m}}+{{\frac {1}{3}}{\overline {u}}^{2}})}$

onde λ é o comprimento crítico para estabilidade, c é a velocidade do som no meio, θ a temperatura, m a massa de uma molécula de um gás, e ū^2 a velocidade quadrada média do campo de turbulência.

Colapso gravitacional na teoria pós-newtoniana

A instabilidade de Jeans pode ser analisada no âmbito das equações de Boltzmann e Poisson, em teoria pós-newtoniana, na qual componentes do tensor de energia-momento nas equações de Poisson são determinados a partir da função de distribuição de Maxwell-Jüttner. Por meio desse tratamento é demonstrado que a massa necessária para que um excedente de densidade inicie o colapso gravitacional na teoria pós-newtoniana é menor que na teoria newtoniana.[36]

Aplicações à halos de matéria escura

A instabilidade de Jeans pode ser aplicada a um condensado de Bose-Einstein dissipativo homogêneo infinito e autogravitante descrito pelas equações generalizadas de Gross-Pitaevskii-Poisson. Este problema tem aplicações em relação à formação de halos de matéria escura em cosmologia.[37][38]

Aplicações em cosmologia

O problema da origem da rotação na cosmologia

O problema da origem da rotação na matéria observável do Universo (galáxias, aglomerados estelares, estrelas, sistemas planetários e planetas) está, via de regra, na rotação. Explicar a origem dessa rotação enfrenta sérias dificuldades. Na teoria de Jeans, a instabilidade gravitacional leva a um aumento apenas nas perturbações longitudinais (irrotacionais). Como resultado, surgiu a suposição de que a rotação da matéria no Universo existia inicialmente (“hipótese do vórtice de fótons”), e a rotação atualmente observada das galáxias é considerada uma relíquia, herdada do vórtice de fótons.[39][40] Junto com essa hipótese, que parece bastante artificial, foi apresentada a ideia da ocorrência de rotação de protogaláxias como resultado da ação de forças de maré.[41][42] Segundo a “teoria do choque”, a rotação das galáxias poderia ser o resultado da interação de protogaláxias assimétricas com uma onda de choque, que deveria surgir no momento da recombinação no Universo em resfriamento.[43][44][45]

A dificuldade de resolver o problema da origem da rotação no Universo é consequência direta do teorema de Helmholtz-Kelvin, segundo o qual o movimento inicialmente irrotacional de um gás ideal não pode se tornar um vórtice como resultado da ação da força potencial da gravidade (ver equação de vorticidade). No entanto, descobriu-se que em um gás turbulento não existe tal proibição.[46] Nesse sentido, surgiu a necessidade de revisar a teoria de Jeans, a partir da qual surgiu um novo rumo no problema da origem da rotação dos objetos no Universo.[47]

Contexto da gravidade da energia-momento ao quadrado

A análise pela instabilidade de Jeans pode ser aplicada no contexto da gravidade da energia-momento ao quadrado (abreviado na literatura em inglês EMSG, energy–momentum-squared gravity), obtendo-se uma massa de Jeans para meios infinitos não rotativos como a menor escala de massa para perturbações locais que podem ser estáveis contra a sua própria gravidade, assim como para meios rotativos, especificamente para discos finos rotativos no contexto de EMSG, encontrando um novo critério do tipo Toomre para a estabilidade gravitacional local.[48][49][50][51][52][53][54][55]

Ver também

• Função de massa inicial
• Massa de Bonnor–Ebert
• Oscilação plasmática

Referências

1. Michael J Thompson. Jeans Instability and Star Formation. An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics. January 2006, 155-164
2. Valery A Rubakov, Dmitry S Gorbunov. Jeans Instability in Newtonian Gravity. Introduction to the Theory of the Early Universe. February 2011, 1-12
3. Bonazzola, S; Heyvaerts, J; Falgarone, E; Perault, M; Puget, J L (Janeiro 1987). «Jeans collapse in a turbulent medium». Astronomy and Astrophysics. 172 (1-2): 293-298. ISSN 0004-6361 
4. Casuso, Emilio; Beckman, John (25 de junho de 2002). «Interstellar Gas Mass Functions: Fractality and Scale Dependence». Publications of the Astronomical Society of Japan. 54 (3): 405–413 
5. Krumholz, Mark R. Star Formation. Col: World Scientific Series in Astrophysics. [S.l.]: World Scientific Publishing Company. pp. 99–121. ISBN 978-9813142039 
6. Halley, Edmund (1720–1721). «Of the Infinity of the Sphere of Fix'd Stars. By Edmund Halley, L. L. D. R. S. S.». Philosophical Transactions (1683-1775). 31: 22–24. ISSN 0260-7085 
7. Newton, Isaac. «Original letter from Isaac Newton to Richard Bentley, dated 17 January 1692/3 (Diplomatic)». www.newtonproject.ox.ac.uk. Consultado em 11 de novembro de 2023 
8. Peebles, P. J. E. (2022). Cosmology's century: an inside history of our modern understanding of the universe. Princeton Oxford: Princeton University Press. ISBN 9780691196022 
9. Jeans, J. H. (1902). «The Stability of a Spherical Nebula». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 199 (312–320): 1–53. Bibcode:1902RSPTA.199....1J. JSTOR 90845. doi:10.1098/rsta.1902.0012 
10. Smith, Michael D (2004). The Origin Of Stars. Singapura: World Scientific. p. 66. ISBN 9781783260546 
11. Bodenheimer, Peter (2011). Principles of Star Formation. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 34–47 
12. Ward-Thompson, Derek; Whitworth, Anthony P (2011). An Introduction to Star Formation. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 65–78 
13. Schulz, Norbert S (2007). From Dust To Stars: Studies of the Formation and Early Evolution of Stars. [S.l.]: Springer Science & Business Media. 93 páginas 
14. Pols, O R (setembro 2011). STELLAR STRUCTURE AND EVOLUTION (PDF). [S.l.]: Astronomical Institute Utrecht 
15. Krumholz, Mark R (2012). «Star Formation in Atomic Gas». American Astronomical Society. The Astrophysical Journal. 759 (1). 9 páginas. doi:10.1088/0004-637x/759/1/9 
16. Krumholz, Mark R; Tan, Jonathan C (2007). «Slow Star Formation in Dense Gas: Evidence and Implications». The Astrophysical Journal. 654 (1): 304-315 
17. McKee, Christopher F; Ostriker, Eve C (2007). «Theory of Star Formation» (PDF). Annu. Rev. Astron. Astrophys. 45 
18. Binney, James; Tremaine, Scott (2008). Galactic dynamics 2nd ed. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13026-2. OCLC 195749071 
19. Ershkovich, A. I. (29 de agosto de 2011). «The "Jeans Swindle": the end of a myth?». arXiv:1108.5519 [astro-ph.GA] 
20. Falco, M.; Hansen, S. H.; Wojtak, R.; Mamon, G. A. (1 de maio de 2013). «Why does the Jeans Swindle work?». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters. 431 (1): L6–L9. ISSN 1745-3933. arXiv:1210.3363. doi:10.1093/mnrasl/sls051 
21. Shariff, Karim; Cuzzi, Jeffrey N (20 de maio de 2015). «THE SPHERICALLY SYMMETRIC GRAVITATIONAL COLLAPSE OF A CLUMP OF SOLIDS IN A GAS». The Astrophysical Journal. 805 (42). doi:10.1088/0004-637X/805/1/42 
22. Suarez, Abril; Chavanis, Pierre-Henri (2017). «Jeans type instability of a complex self-interacting scalar field in general relativity» (PDF). arXiv.org 
23. LeBlanc, Francis (2010). An Introduction to Stellar Astrophysics. Chichester, West Sussex, U.K.: Wiley. pp. 46–47. ISBN 978-0-470-69957-7. OCLC 475440765 
24. «Jeans Length -- from Eric Weisstein's World of Physics». scienceworld.wolfram.com 
25. Suarez, Abril; Chavanis, Pierre-Henri (2015). «Hydrodynamic representation of the Klein-Gordon-Einstein equations in the weak field limit: I. General formalism and perturbations analysis» (PDF). arXiv.org 
26. Susa, Hajime; Uehara, Hideya; Nishi, Ryoichi (13 de abril de 1996). «The fragment mass scale of the primordial gas clouds I. non-spherical pressure-free collapse» (PDF). Department of Physics - Kyoto University. KUNS. 1294 
27. Abbasi, Amir (2018). «Effect of polarization force on the Jeans instability in collisional dusty plasmas». Plasma Science and Technology. 20 (3). 035301 páginas. Bibcode:2018PlST...20c5301A. doi:10.1088/2058-6272/aa96fa 
28. Glatzmaier G.A. lecture notes, University of California, Santa Cruz
29. Penston, M. V. Dynamics of self-gravitating gaseous spheres-II. Collapses of gas spheres with cooling and the behaviour of polytropic gas spheres. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 145, p.457. BibCode: 1969MNRAS.145..457P
30. Scalo, JM (1986). Fundamentals of Cosmic Physics (PDF). United Kingdom: Gordon and Breach, Science Publishers, Inc. 3 páginas. Consultado em 28 de fevereiro de 2023 
31. Abe, Daisei; Inoue, Tsuyoshi; Enokiya, Rei; Fukui, Yasuo (25 de novembro de 2022). «The Effect of Shock-wave Duration on Star Formation and the Initial Condition of Massive Cluster Formation». The Astrophysical Journal. 940 (2). doi:10.3847/1538-4357/ac9e55 
32. Kossacki, K (1968). «On the Possibility of Pre-stellar Bodies Formation in Clouds Compressed by Shock Waves». Acta Astronomica. 18 (2). 221 páginas 
33. Shu, F. H.; Milione, V.; Gebel, W.; Yuan, C.; Goldsmith, D. W.; Roberts, W. W. (1972). «Galactic Shocks in an Interstellar Medium with Two Stable Phases». Astrophysical Journal. 173. 557 páginas. doi:10.1086/151444 
34. PARKER, E (1952). «Gravitational Instability of a Turbulent Medium». Nature. 170 (1030). doi:10.1038/1701030a0 
35. Chandrasekhar, S (7 de dezembro de 1951). «The Gravitational Instability of an Infinite Homogeneous Turbulent Medium». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 210 (1100): 26-29 
36. Kremer, G.M. (2021). «Jeans instability from post-Newtonian Boltzmann equation.». The European Physical Journal C. 81 (927). doi:10.1140/epjc/s10052-021-09728-y 
37. Chavanis, P.H. (2017). «Dissipative self-gravitating Bose-Einstein condensates with arbitrary nonlinearity as a model of dark matter halos.». Eur. Phys. J. Plus. 132 (248). doi:10.1140/epjp/i2017-11544-3 
38. Chavanis, P.H. (2020). «Jeans Instability of Dissipative Self-Gravitating Bose–Einstein Condensates with Repulsive or Attractive Self-Interaction: Application to Dark Matter.». Universe. 6 (12). 226 páginas. doi:10.3390/universe6120226 
39. Gamow, George (2 de abril de 1952). «The role of turbulence in the evolution of the universe». Phys. Rev. 86 (2). 251 páginas 
40. Weizsäcker, Carl Friedrich von (1951). «The evolution of galaxies and stars». Astrophys. J. 114: 165—186. doi:10.1086/145462 
41. Hoyle, Fred (1951). «Problems of cosmological aerodynamics». Symposium of the motion of gaseous masses of cosmical dimensions. Paris. 1949. 195 páginas 
42. Peebles P. J. E. (1969). «Origin of the angular momentum of galaxies». Astropys. J. 155: 393—401 
43. Chernin, A.D. (1970). «Turbulência em um universo isotrópico (Турбулентность в изотропной Вселенной)». Cartas para JETP (Письма в ЖЭТФ) (em russo). 11: 317-319 
44. Chernin, A.D. (1977). «Sobre a origem da rotação das galáxias II (О происхождении вращения галактик II)». Astrofísica (Астрофизика) (em russo). 13: 69—78 
45. Gurewitsch, Lew Emmanuilowitsch; Chernin, A.D. (1978). Introdução à cosmogonia (Введение в космогонию) (em russo). [S.l.]: M.: Nauka,. 383 páginas 
46. Krigel, A.M. (1981). «Sobre a não conservação da circulação da velocidade em um fluido rotativo turbulento (О несохранении циркуляции скорости в турбулентной вращающейся жидкости)». Cartas ao Jornal de Técnicas Físicas (Письма в Журнал Технической Физики) (em russo). 7 (21): 1300—1303 
47. Krigel, A.M. (2016). «Sobre o surgimento da rotação no Universo (О возникновении вращения во Вселенной)» (PDF). Astrofísica (Астрофизика) (em russo). 59 (4): 575—581 
48. Board, C.V.R.; Barrow, J.D. (2017). «Cosmological Models in Energy-Momentum-Squared Gravity.». Phys. Rev. D. 96. 123517 páginas. doi:10.1103/PhysRevD.96.123517 
49. Akarsu, Ö.; Barrow, J.D.; Ckintoglu, S.; Eksi, K.Y.; Katirci, N. (2018). «Constraint on energy-momentum squared gravity from neutron stars and its cosmological implications.». Phys. Rev. D. 97. 124017 páginas. doi:10.1103/PhysRevD.97.124017 
50. Nazari, E.; Sarvi, F.; Roshan, M. (2020). «Generalized energy-momentum squared gravity in the Palatini formalism.». Phys. Rev. D. 102. 064016 páginas. doi:10.1103/PhysRevD.102.064016 
51. Kazemi, Ali; Roshan, Mahmood; Laurentis, Maria Felicia De (2020). «Jeans analysis in energy–momentum-squared gravity». Eur. Phys. J. C. 80 (150). doi:10.1140/epjc/s10052-020-7662-y 
52. Akarsu, O.; Uzun, N.M. (2023). «Cosmological models in scale-independent energy-momentum squared gravity». Phys. Dark Univ. 40. 101194 páginas. doi:10.1016/j.dark.2023.101194 
53. Canuto, Á.J.C.; Santos, A.F. (2023). «Gödel-type universes in energy–momentum-squared gravity.». Eur. Phys. J. C. 83 (404). doi:10.1140/epjc/s10052-023-11570-3 
54. Yousaf, Z; Khlopov, M Y; Almutairi, B; Nasir, M M M (2023). «Topologically charged complex systems with an energy–momentum squared gravity». Annals of Physics. 458, Part 1. 169448 páginas. ISSN 0003-4916. doi:10.1016/j.aop.2023.169448 
55. Roshan, Mahmood; Shojai, Fatimah (20 de julho de 2016). «Energy-Momentum Squared Gravity». arxiv.org 

Bibliografia e leituras extras

• Carroll, Bradley W; Ostlie, Dale A (1996). An introduction to Modern Astrophysics. [S.l.: s.n.] 449 páginas. ISBN 0-321-21030-1 
• Longair, Malcolm S (2008). Galaxy Formation. Col: Astronomy and Astrophysics Library 2 ed. Heidelberg: Springer Berlin. 737 páginas. ISBN 978-3-662-49579-7. doi:10.1007/978-3-540-73478-9 
• Kolanoski, Hermann (21 de julho de 2013). «Einführung in die Astroteilchenphysik» (PDF; 13,8 MB) 
• Sexl, Roman; Sexl, Hannelore (1999). Weiße Zwerge – Schwarze Löcher. Einführung in die relativistische Astrophysik. Col: Vieweg-Studium – Grundkurs Physik 2. erweiterte ed. Braunschweig: Vieweg Verlag. ISBN 3-528-17214-2 
• Unsöld, Albrecht; Baschek, Bodo (1988). Der neue Kosmos 4. völlig neubearbeitete ed. [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-18171-7