Coeficiente de expansão adiabática

Coeficiente de Expansão adiabática para diversos gases[1][2]
Temp.	Gás	γ		Temp.	Gás	γ		Temp.	Gás	γ
−181 °C	H2	1.597		200 °C	Ar seco	1.398		20 °C	NO	1.400
−76 °C		1.453		400 °C		1.393		20 °C	N2O	1.310
20 °C		1.410		1000 °C		1.365		−181 °C	N2	1.470
100 °C		1.404		2000 °C		1.088		15 °C		1.404
400 °C		1.387		0 °C	CO2	1.310		20 °C	Cl2	1.340
1000 °C		1.358		20 °C		1.300		−115 °C	CH4	1.410
2000 °C		1.318		100 °C		1.281		−74 °C		1.350
20 °C	He	1.660		400 °C		1.235		20 °C		1.320
20 °C	H2O	1.330		1000 °C		1.195		15 °C	NH3	1.310
100 °C		1.324		20 °C	CO	1.400		19 °C	Ne	1.640
200 °C		1.310		−181 °C	O2	1.450		19 °C	Xe	1.660
−180 °C	Ar	1.760		−76 °C		1.415		19 °C	Kr	1.680
20 °C		1.670		20 °C		1.400		15 °C	SO2	1.290
0 °C	Ar seco	1.403		100 °C		1.399		360 °C	Hg	1.670
20 °C		1.400		200 °C		1.397		15 °C	C2H6	1.220
100 °C		1.401		400 °C		1.394		16 °C	C3H8	1.130

O coeficiente de expansão adiabática, representado pela letra grega γ, é a razão entre a capacidade térmica a pressão constante e a capacidade térmica a volume constante:[3]

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}}$

Nessa transformação, o sistema não troca calor com o meio externo; o trabalho realizado é graças à variação de energia interna. Numa expansão adiabática, o sistema realiza trabalho sobre o meio e a energia interna diminui. Na expansão adiabática ocorre um abaixamento de temperatura.[3]

A partir da Lei dos gases ideais e outras equações de termodinâmica pode-se chegar as equações:[4]

${\displaystyle PV^{\gamma }=constante}$

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=constante}$

${\displaystyle T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante}$

Onde P é a pressão do gás, V é o volume do gás e T é a temperatura do gás.

Sistema adiabático

Um sistema adiabático é definido como aquele em que não há troca de calor entre o sistema e o meio, ou seja, todo o trabalho realizado pelo gás provém de sua energia interna:

${\displaystyle W=-\Delta U}$

Se um sistema se expande adiabaticamente, o trabalho do sistema é positivo, logo a energia interna do sistema diminui e por consequência sua temperatura também diminui. Se o sistema se contrai adiabaticamente, o trabalho do sistema é negativo, a energia interna aumenta e sua temperatura também aumenta.[5]

O processo adiabático é possível se o sistema estiver isolado termicamente (com paredes adiabáticas) ou se o trabalho é realizado tão rapidamente que não há

Quando um spray é utilizado, o gás se expande adiabaticamente e resfria.

tempo para o sistema trocar calor com o meio.[4]

Exemplos de processos adiabáticos

São exemplos de processos adiabáticos a formação de uma névoa na abertura de uma garrafa de refrigerante ou alguma outra bebida com gás, o aquecimento da bomba de encher pneus ao se utilizá-la e o resfriamento do gás de um desodorante quando ele sai do spray. Processos adiabáticos também são importantes no estudo do aquecimento e resfriamento de gases na atmosfera terrestre.

Relação com graus de liberdade

Como ${\displaystyle Cp}$ e ${\displaystyle Cv}$ variam conforme o número de graus de liberdade do gás, o coeficiente de expansão adiabática também varia.

${\displaystyle Cv=(f/2)R}$

${\displaystyle Cp=(f/2)R+R}$

Onde ${\displaystyle f}$ são os graus de liberdade. A partir disso podemos tomar

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}\qquad {\mbox{ou}}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}}$

Para gases monoatômicos ideais, existem 3 graus de liberdade:

${\displaystyle Cp/Cv={\frac {5R/2}{3R/2}}=5/3=1,666...=\gamma _{monoatomico}}$

Para gases diatômicos ideais, existem 5 graus de liberdade:

${\displaystyle Cp/Cv={\frac {7R/2}{5R/2}}=7/5=1,4=\gamma _{diatomico}}$

Em gases reais, o valor dos calores específicos a volume constante e a pressão constante variam em função da temperatura, então ${\displaystyle \gamma }$ será um valor aproximado do ideal (ver tabela).[4][6]

Dedução das fórmulas

Imagine um sistema com um gás em um embolo hermeticamente fechado. Partindo da primeira lei da termodinâmica:

${\displaystyle \Delta U=Q-W}$

Onde ${\displaystyle \Delta U}$ é a variação da energia interna, ${\displaystyle Q}$ é o calor trocado com o meio e ${\displaystyle W}$ é o trabalho realizado pelo gás.

Para variações infinitesimais e substituindo ${\displaystyle dW}$ por ${\displaystyle PdV}$:

${\displaystyle dU=Q-PdV}$

Supondo que o gás está termicamente isolado, ${\displaystyle Q=0}$. Também podemos substituir ${\displaystyle dU}$ por ${\displaystyle CvdT}$ em que ${\displaystyle n}$é o número de mols do gás e ${\displaystyle dT}$ é a variação infinitesimal da Temperatura. Após algumas alterações algébricas chegamos a

${\displaystyle dT=-(P/Cv)dV}$

Dada a equação: ${\displaystyle d(PV)=PdV+VdP=nRdT}$ , onde ${\displaystyle nR=Cp-Cv}$ e substituindo o ${\displaystyle dT}$ da equação acima chega-se em:

${\displaystyle dP/P=-(Cp/Cv)dV/V}$

Substituindo ${\displaystyle \gamma =Cp/Cv}$, integrando ambos os lados e fazendo operações logarítmicas:

${\displaystyle PV^{\gamma }=constante}$

Logo,

${\displaystyle P_{1}V_{1}^{\gamma }=P_{2}V_{2}^{\gamma }}$

Para deixar em termos da temperatura e do volume, se substitui ${\displaystyle P=nRT/V}$na equação anterior e se chega a fórmula

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=constante}$

pois ${\displaystyle (nR)^{\gamma }}$ é constante durante a expansão.

Para deixar em função da pressão e do volume, substitui-se ${\displaystyle V=nRT/P}$ na equação anterior e fazendo algumas substituições algébricas se encontra

${\textstyle T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante}$[4][7][6]

Ver também

• Sistema adiabático
• Capacidade térmica
• Transformação politrópica
• Resfriamento adiabático
• Calor específico
• Termodinâmica
• Graus de liberdade

Referências

1. White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
2. Lange's Handbook of Chemistry, 10ª ed. página 1524
3. SERWAY, R.A.; JEWETT Jr., J.W (2004). Princípios de Física. 2. São Paulo: Cengage Learning. p. 609-611. ISBN 85-221-0413-1  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Halliday, David (2009). Fundamentos de Física Vol. 2 8 ed. [S.l.]: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. ISBN 978-85-216-1606-1 
5. Palandi, Joecir; Figueiredo, Dartanhan Baldez (2010). Teoria Cinética e Termodinâmica (PDF). [S.l.: s.n.] 
6. Estrada, Alejandro de (1964). Termodinamica Tecnica 2 ed. Buenos Aires: Libreria y Editorial Alsina 
7. Lee, John F.; Weston Sears, Francis (1969). Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA. 

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