Função zeta local

Na teoria dos números, uma função zeta local é uma função geratriz

Z(t) para o número de soluções de um conjunto de equações definidas sobre um corpo finito F, em extensão de campos F_k de F.

Formulação

A analogia com a função zeta de Riemann

${\displaystyle \zeta (s)}$

se estabelece através da derivada logarítmica

${\displaystyle \zeta '(s)/\zeta (s)}$.

Dado um F, existe, em um isomorfismo, somente um corpo F_k com

[F_k:F] = k,

para k = 1,2, ... . Dado um conjunto de equações de polinômios — ou uma variedade algébrica V — definida sobre F, podemos contar o número

N_k

de soluções em F_k; e criar a função geratriz

G(t) = N₁.t + N₂.t^2/2 + ... .

A definição correta de Z(t) é tomar o log Z igual a G, e portanto

Z = exp(G);

teremos que Z(0) = 1 dado que G(0) = 0, e Z(t) é a priori uma série de potência formal.

Exemplos

Por exemplo, assumindo que todos os N_k são 1; isto ocorre por exemplo se começamos com uma equação do tipo X = 0, de forma que geometricamente estamos tomando V em um ponto. Então

G(t) = −log(1 − t)

é a expansão de um logaritmo (para |t| < 1). Neste caso se tem que

Z(t) = 1/(1 − t).

Outro caso mais interessante é, se V é a linha de projeção sobre F. Se F tem uma quantidade q de elementos, então esta tem q + 1 pontos, incluindo como correspondente o ponto no infinito. Portanto teremos

N_k = q^k + 1

e

G(t) = −log(1 − t) − log(1 − qt),

para um |t| suficientemente pequeno.

Neste caso temos

Z(t) = 1/{(1 − t)(1 − qt)}.

Motivações

A relação entre as definições de G e Z pode ser explicada de diversas formas. Na prática faz de Z uma função racional de t, algo que resulta interessante ainda no caso em que V seja uma curva elíptica sobre um corpo finito.

São as funções Z que são desenhadas para multiplicar, para obter funções globais zeta. Isto compreende diferentes corpos finitos (por exemplo a família completa de corpos Z/p.Z com p um número primo. Nesta relação, a variável t é substituída por p^-s, onde s é a variável complexa tradicionalmente usada nas séries de Dirichlet. (Para maiores detalhes ver função zeta de Hasse-Weil). Isto explica também porque se utiliza a derivada logarítmica com relação de s.

Com estes antecedentes, os produtos de Z nos dois casos resultam ser ${\displaystyle \zeta (s)}$ e ${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$.