Variedade algébrica

Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Definição

Se ${\displaystyle K}$ um corpo algebricamente fechado, ${\displaystyle K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ o anel de polinômios em ${\displaystyle K}$ com ${\displaystyle n}$ variáveis, e ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,n}}$ uma família de polinômios do anel. O subconjunto de ${\displaystyle K^{n}}$ formado dos pontos que anulam todos os polinômios de ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,n}}$ é uma variedade algébrica:

$${\displaystyle V=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,\forall i=1,2,\ldots ,n\}\subseteq K^{n}.}$$

Variedades afins

Ver artigo principal: Variedade afim

Dado o corpo algebricamente fechado ${\displaystyle K}$ e um espaço afim ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ de dimensão ${\displaystyle n}$ sobre ${\displaystyle K,}$ os polinômios do anel ${\displaystyle K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ são funções a valores em ${\displaystyle K}$ definidas sobre ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

Tomada uma família de polinômios ${\displaystyle S\subseteq K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}],}$ o conjunto dos pontos de ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ pelos quais as funções de ${\displaystyle S}$ são todas nulas:

$${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0\,\forall f\in S\}}$$

é dito conjunto algébrico afim. Se ${\displaystyle Z(S)}$ não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades

• Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski).
• Dado ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n},}$ ${\displaystyle I(V)}$ é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre ${\displaystyle V:}$

$${\displaystyle I(V)=\{f\in K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]\mid f(x)=0\,\forall x\in V\}.}$$

Se define anel da coordenadas ${\displaystyle K[V]}$ de ${\displaystyle V}$ o anel quociente ${\displaystyle {\frac {K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]}{I(V)}}.}$ O grau de transcendência do campo das frações de ${\displaystyle K[V]}$ sobre ${\displaystyle K}$ é dito dimensão de ${\displaystyle V.}$

• Um conjunto algébrico afim ${\displaystyle V}$ é uma variedade se e somente se ${\displaystyle I(V)}$ é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de ${\displaystyle V}$ é um domínio de integridade.
• Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetiva

Ver artigo principal: Variedade projetiva

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre o corpo ${\displaystyle K:}$ neste caso considera-se um conjunto ${\displaystyle S\subseteq K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}],}$ formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricas

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$ é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

$${\displaystyle \phi \colon V_{1}\to V_{2}.}$$

${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$ são ditas isomorfas e se escreve ${\displaystyle V_{1}\cong V_{2}.}$

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.

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