Curva elíptica

Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Têm sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo.

As curvas elípticas são "regulares", ou pode-se dizer "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e se pode definir uma operação binária para o conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que faz deste conjunto um grupo abeliano.

As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$ e por ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+1}$.

As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo ${\displaystyle K}$; a definição formal de uma curva elíptica é a de uma curva algébrica projetiva não singular sobre ${\displaystyle K}$ de gênero 1. Se a característica de ${\displaystyle K}$ não é nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre ${\displaystyle K}$ pode escrever-se na forma: ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$, onde ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ são elementos de ${\displaystyle K}$ tais que o polinômio do membro direito ${\displaystyle x^{3}-px-q}$ não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica é 2 ou 3 farão falta mais termos.

Sendo assim, vale salientar que há uma forma geral para expressar a equação de uma curva elíptica, a qual é válida para qualquer corpo. Essa forma é conhecida como Equação de Weierstrass e é dada por:

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

Definição

Normalmente se define a curva como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle (x,y)}$ que satisfazem a equação acima e tais que ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sejam elementos do fecho algébrico de ${\displaystyle K}$. Os pontos da curva cujas coordenadas pertençam ambas a ${\displaystyle K}$ se chamam pontos K-racionais.

Se adicionarmos um ponto "ao infinito", obteremos a versão projetiva de tal curva. Se temos dois pontos da curva, ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ então podemos descrever de forma unívoca um terceiro ponto que seja a intersecção da curva com a linha que atravessa aos dois pontos ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$. Se a linha é tangente à curva em um ponto, então esse ponto contará duas vezes; e se a linha é paralela ao eixo ${\displaystyle y}$, definimos o terceiro ponto como o "no" infinito. Então justo uma de tais condições será a que cumpra qualquer par de pontos de uma curva elíptica.

subgrupo deste grupo.

Se a curva se denota por ${\displaystyle E}$, este subgrupo se denota normalmente como ${\displaystyle E(K)}$.

O grupo acima se pode descrever geométrica e algebricamente. Dada a curva ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$ sobre o corpo ${\displaystyle K}$ (cuja característica assumimos que não é nem 2 nem 3), e os pontos ${\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}$ e ${\displaystyle Q=(x_{Q},y_{Q})}$ na curva, assumimos primeiro que ${\displaystyle x_{P}\neq x_{Q}}$. Seja ${\displaystyle s={\dfrac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$, já que ${\displaystyle K}$ é um corpo, ${\displaystyle s}$ está bem definido. Então podemos definir ${\displaystyle R=P+Q=(x_{R},y_{R})}$ mediante

${\displaystyle {x_{R}}={s^{2}}-{x_{P}}-{x_{Q}}}$

${\displaystyle {y_{R}}=-{y_{P}}+{s({x_{P}}-{x_{R}}})}$

Se ${\displaystyle x_{P}=x_{Q}}$, então há duas opções: se ${\displaystyle y_{P}\neq -y_{Q}}$, então a soma se define como 0; assim que o inverso de cada ponto da curva se encontra refletindo-o no eixo ${\displaystyle x}$. Se ${\displaystyle y_{P}=-y_{Q}\neq 0}$, então ${\displaystyle R=P+P=2P=(x_{R},y_{R})}$ será dado por

${\displaystyle s={(3{x_{P}}^{2}-p)}/{(2y_{P})}}$

${\displaystyle {x_{R}}={s^{2}}-2{x_{P}}}$

${\displaystyle {y_{R}}=-{y_{P}}+s({x_{P}}-{x_{R}})}$

Se ${\displaystyle y_{P}=-y_{Q}=0}$, então ${\displaystyle P+P=0}$;

Implicações do teorema de Mordell-Weil

O teorema de Mordell-Weil estabelece que se o corpo subjacente ${\displaystyle K}$ é o dos racionais (ou de maneira mais geral um corpo numérico), então o grupo de pontos ${\displaystyle K}$-racionais será finitamente gerado. Ainda que se possa determinar facilmente o subgrupo de torsão de ${\displaystyle E(K)}$, não se conhece um algoritmo geral para computar sua ordem. Uma fórmula para um dado conjunto imagem vem a ser dada pela conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.

Implicações para o último teorema de Fermat

A demonstração recente do último teorema de Fermat se leva a cabo provando um caso especial da profunda conjectura de Taniyama-Shimura que relaciona as curvas elípticas sobre os racionais com as formas modulares; esta conjectura foi também completamente demonstrada.

Se o corpo subjacente ${\displaystyle K}$ é o dos complexos, toda curva elíptica poderá ser parametrizada por certa função elíptica e sua derivada. Especificamente, a cada curva elíptica E se associa um reticulado ${\displaystyle L}$ e uma função elíptica de Weierstrass correspondente ${\displaystyle \wp }$, tal que a aplicação

${\displaystyle \varphi :\mathbf {C} /L\longrightarrow E}$

com

${\displaystyle \varphi (z)=\mathbf {C} (\wp (z),\wp '(z))}$

seja um isomorfismo de grupos e um isomorfismo de superfícies de Riemann.

O que prova em particular que topologicamente, E assemelha-se a um toro (já que ${\displaystyle \mathbf {C} /L}$ é um toro). Se o reticulado ${\displaystyle L}$ está relacionado com outro reticulado ${\displaystyle cL}$ mediante a multiplicação por um número complexo distinto de zero ${\displaystyle c}$, então as curvas correspondentes são isomorfas. As classes de isomorfismo das curvas elípticas se especificam mediante o j-invariante.

Enquanto que o número de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre um corpo finito F_p é difícil de computar em geral, um teorema de Hasse sobre curvas elípticas diz que

${\displaystyle \left|\sharp E(\mathbb {F} )-p-1\right|<2{\sqrt {p}}}$

Este fato pode entender-se e demostrar-se com algo da teoria geral; ver função zeta local, cohomologia étale.

Para desenvolvimentos posteriores ver aritmética de variedades abelianas.

Teorema de Bezout

Sejam ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ curvas projetivas planas de graus ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ definidas sobre um corpo algebricamente fechado. Se ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ não possuem componentes comuns, então o número de intersecções ${\displaystyle C_{1}\cap C_{2}}$, contadas com a multiplicidade, é o produto de seus graus, isto é, ${\displaystyle \delta (C_{1})\cdot \delta (C_{2})}$.

Demonstração: ver [1].

Curvas Elípticas e Teoria dos Grupos

É possível traçar uma relação entre curvas elípticas e a Teoria dos Grupos, conforme mencionado anteriormente. Nesta seção, será introduzida a ideia para demonstrar que uma curva elíptica ${\displaystyle C}$ sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é um Grupo abeliano. Para isso, vamos definir uma operação que nos auxiliará para realizar essa demonstração. Sejam ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ pontos com coordenadas racionais na curva elíptica ${\displaystyle C}$, e tracemos uma reta que passa por ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$. Além disso, seja ${\displaystyle P*Q}$ o terceiro ponto ponto de interseção da reta traçada com a curva ${\displaystyle C}$, conforme a Figura 1 acima.

Figura 1

Agora, vamos definir o ${\displaystyle O}$, o qual facilmente é provado como elemento neutro. Assim, seja a reta que passa por ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ e seja ${\displaystyle P*Q}$ o terceiro ponto ponto de interseção com a curva. Seja ${\displaystyle O}$ um ponto tal que a reta que passa por ${\displaystyle O}$ e por ${\displaystyle P*Q}$ intersecta a curva no ponto denotado por ${\displaystyle P+Q}$. Assim, teremos que ${\displaystyle P+Q=O*(P*Q)}$. Veja na Figura 2 a seguir.

Figura 2

A partir dessa construção, podemos definir um grupo. Sejam ${\displaystyle C}$ uma curva elíptica sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ denotada por ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ e ${\displaystyle O\in C(\mathbb {Q} )}$. Então, ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ é um grupo abeliano com a operação "+" definida, isto é, ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ satisfaz as seguintes propriedades

1. Elemento Neutro: ${\displaystyle P+O=O+P}$, para todo ${\displaystyle P}$ com coordenadas racionais.
2. Inverso: Para todo ${\displaystyle P}$ com coordenadas racionais existe um ponto ${\displaystyle -P}$ com coordenadas racionais tal que ${\displaystyle P+(-P)=(-P)+P=O}$.
3. Associatividade: Sejam ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$ pontos quaisquer com coordenadas racionais, então ${\displaystyle (P+Q)+R=P+(Q+R)}$.
4. Comutatividade: Sejam ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ pontos quaisquer com coordenadas racionais, então ${\displaystyle P+Q=Q+P}$.

A demonstração desse resultado pode ser vista em [2].

Curvas elípticas e criptografia

As curvas elípticas sobre corpos finitos são usadas em algumas aplicações em criptografia assim como na fatoração de inteiros. Uns dos precursores dos estudos relacionando curvas elípticas e criptografia foram Victor Miller e Neal Koblitz. A ideia geral nessas aplicações é que se temos um algoritmo que usa certos grupos finitos podemos reescrevê-lo usando os grupos de pontos racionais de curvas elípticas. Vários são os problemas tópicos relacionados a esse tema, tais como

• O problema do logaritmo discreto em curvas elípticas
• A troca de chaves de Diffie-Hellman com curvas elípticas
• A analogia de Massey-Omura
• A escolha do ponto na curva e seleção "aleatória" de (E, B)
• A redução Global de (E, B) ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle p}$
• Ordem do ponto B

Ver também

• Criptografia de curvas elípticas
• DSA de curvas elípticas
• Fatoração Lenstra de curvas elípticas

Ligações externas

• «The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves» (em inglês) 

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Sugestões de Leitura

[1] ANDRIA, Sally. e GONDIM, Rodrigo. Criptografia com Curvas Elípticas, 2017 - VIII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - Rio de Janeiro - RJ. [2] Carneiro, J. S., & Almeida, K. E. de. (2015). Uma Introdução às Curvas Elípticas com Aplicações para o Ensino Médio. Ciência E Natura, 37, 452–462. https://doi.org/10.5902/2179460X14815

[3] FLOSE, Vania Batista Schunck. Criptografia e Curvas Elípticas. 2011. 55 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Estadual Paulista, São Paulo, 2011.

Referências

[1] VAINSENCHER, I. Introdução às Curvas Algébricas Planas, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 1996.

[2] Carneiro, J. S., & Almeida, K. E. de. (2015). Uma Introdução às Curvas Elípticas com Aplicações para o Ensino Médio. Ciência E Natura, 37, 452–462. https://doi.org/10.5902/2179460X14815

[3] FLOSE, Vania Batista Schunck. Criptografia e Curvas Elípticas. 2011. 55 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Estadual Paulista, São Paulo, 2011.