Covariância

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância, ou variância conjunta, é uma medida do grau de interdependência (ou inter-relação) numérica entre duas variáveis aleatórias[1]. Assim, variáveis independentes têm covariância zero.

A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.

Definição formal

A covariância ou variância conjunta é um momento conjunto de primeira ordem das variáveis aleatórias X e Y, centrados nas respectivas médias. É a média do grau de interdependência ou inter-relação numérica linear entre elas[1].

Se a variável for discreta, a covariância pode ser calculada de duas formas:

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}\left[\left(x_{i}-\mu _{i}^{x}\right)\left(y_{i}-\mu _{i}^{y}\right)p(x_{i},y_{i})\right]}$, onde ${\displaystyle p(x_{i},y_{i})}$ é a frequência relativa (ou probabilidade de ocorrer o par ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ e ${\displaystyle \mu _{i}^{var}}$ é a média para os valores da variável indicada.
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}\right)\right]}$

Prova matemática

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, com valores esperados ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{X}}$ e ${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\mu _{Y}}$ é definida como uma medida de como duas variáveis variam conjuntamente:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})],\,}$

onde ${\displaystyle E()}$ é o operador do valor esperado[2]. Desenvolvendo a expressão para a Covariância, temos:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y))]}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY-X\operatorname {E} (Y)-Y\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]}$

Usando a propriedade de que a Esperança (Valor esperado) de uma variável aleátória X qualquer é um operador linear, determinamos que a Esperança de uma soma é a soma das Esperanças:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} [X\operatorname {E} (Y)]-\operatorname {E} [Y\operatorname {E} (X)]+\operatorname {E} [\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]\ }$

Novamente utilizando da linearidade da Esperança, temos que a Esperança de uma constante K qualquer multiplicada pela variável X é equivalente à constante K multiplicada pela Esperança da variável X. Sendo a Esperança de X um número qualquer definido no conjunto dos Números Reais, podemos fatorá-la em dois fatores:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$

Isto equivale à seguinte fórmula, a qual é geralmente usada para fazer os cálculos[2]:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,}$

Se X e Y são independentes, então a sua covariância é zero. Isto acontece porque sob independência[2]:

${\displaystyle E(XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Assim:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=0}$

O inverso, no entanto, não é verdadeiro: é possível que X e Y não sejam independentes e terem no entanto covariância zero[2]. Variáveis aleatórias cuja covariância é zero são chamadas descorrelacionadas.

Propriedades da Covariância

Se X e Y são variáveis aleatórias de valor real e a, b, c e d constantes ("constante", neste contexto, significa não aleatória), então os seguintes factos são uma consequência da definição da covariância[2]:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (aX+b,cY+d)=a\ c\ \operatorname {cov} (X,Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {cov} \left(\sum _{i}{X_{i}},\sum _{j}{Y_{j}}\right)=\sum _{i}{\sum _{j}{\operatorname {cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}\,}$

Para variáveis aleatórias em vetores coluna X e Y com respectivos valores esperados μ_X e μ_Y, e n e m de componentes escalares respectivamente, a covariância é definida como matriz n×m

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})^{\top }).\,}$

Para variáveis aleatórias em vetor, cov(X, Y) e cov(Y, X) são a transposta de cada um.

Relação entre variância e covariância

A covariância entre duas variáveis pode ser obtida de dados de variância[1]. Para variáveis aleatórias X e Y, sejam:

• ${\displaystyle \operatorname {var} (X)\,}$ é a variância populacional de X
• ${\displaystyle \operatorname {var} (Y)\,}$ é a variância populacional de Y
• ${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)\,}$ é a variância populacional de uma variável obtida a partir da soma simples das variáveis X e Y.
• "a" e "b" são constantes

Então, teremos:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {\operatorname {var} (aX+bY)-a^{2}\operatorname {var} (X)\,-b^{2}\operatorname {var} (Y)\,}{2ab}}}$

Outras nomenclaturas

A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.

O Coeficiente de Correlação Linear é um conceito relacionado usado para medir o grau de dependência linear entre duas variáveis, variando entre -1 e 1, indicando o sentido da dependência.

Exemplo de cálculo de covariância populacional

Seja X a variável "altura dos jogadores de basquete" e seja Y a variável "peso dos mesmos atletas". A partir desses dados, é possível montar uma tabela com os desvios em relação a média. Essa tabela auxilia no cálculo da covariância[1]:

Atleta	Variável X (altura em metros)	Variável Y (peso em kg)	Desvio de X (valor menos média da variável)	Desvio de Y (valor menos média da variável)	Multiplicação dos desvios
1) Pedro	1,95	93,1	-0,038	-1,34	-0,038*-1,34=+0,05092
2) João	1,96	93,9	-0,028	-0,54	-0,028*-0,54=+0,01512
3) José	1,95	89,9	-0,038	-4,54	-0,038*-4,54=+0,17252
4) Renato	1,98	95,1	-0,008	+0,66	-0,008*0,66=-0,00528
5) André	2,10	100,2	+0,112	+5,76	0,112*5,76=0,64512
Soma	${\displaystyle {\color {Red}\sum _{x=1}^{N}x}}$= 1,95+1,96+...+2,10=9,94	${\displaystyle {\color {Sepia}\sum _{y=1}^{N}y}}$${\displaystyle =472{,}2}$	A soma de desvios é sempre igual a zero	A soma de desvios é sempre igual a zero	+0,05092+0,01512+0,17252-0,00528+0,64512=0,8784.
Número de elementos	N = 5 alturas medidas	N = 5 pesos medidos	5 desvios calculados	5 desvios calculados	5 multiplicações feitas
Média	${\displaystyle {\frac {\color {Red}\sum _{x=1}^{N}x}{N}}}$${\displaystyle ={\frac {9{,}94}{5}}=1{,}988}$	${\displaystyle {\dfrac {\color {Sepia}\sum _{y=1}^{N}y}{N}}}$${\displaystyle ={\frac {472,2}{5}}=94{,}44}$	A média de desvios é sempre igual a zero	A média de desvios é sempre igual a zero	0,8784/(5)=0,17568=covariância de X e Y

Referências

1. MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Capítulo 4
2. Covariance, site do Department of Mathematical Sciences da University of Alabama in Huntsville

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